數學

11世紀日本朝廷進入「院政」時代，國家權力從藤原家的攝政、關白轉到退位的太上天皇或者出家的法皇。而隨著律令制度的崩壞，原本以科舉考試選才的政治與技術官僚，也逐漸變成由特定氏族傳承特定職位，也就是形成了與職業連結，有特定「家格」的「家」。最有名的技術官僚家系，當然就是在流行文化中常出現的陰陽道安倍氏。

古代東亞的科舉考試與國家教育制度，並不如許多人刻板印象中，只能學習儒家經典再參加考試。像算學這樣的學科因為有實用的需求，所以也列在唐代國子監的學科之中。國子監算學科的學生完成學業之後，亦可參加算學科考試，通過後任官。同時代的新羅，也在國學中設立算學科。前面提到日本的奈良時代，已經進入律令國家的時代，繼承先前頒訂之《大寶律令》，重新頒訂《養老律令》，形式上施行至明治維新之前。《養老律令》中也明訂了國家的教育制度，其中包含算學。

六至八世紀對於東亞大陸、韓半島與日本列島的歷史是十分有趣的時代。六世紀前半，大和朝廷因為「任那」，也就是倭國在半島上的據點，與新羅起衝突。百濟則因為與新羅、高句麗在半島上的競合，與倭國保持良好關係，而倭國也需要這個半島上的盟友。在六世紀中葉，大致是倭國的欽明大王（當時大和朝廷的君主還稱為「大王」）在位時期前後，佛教從百濟傳入日本。而根據《日本書記》記載，在同一個時代，大約是前一篇文章提到的百濟聖王在位時，百濟也把從南朝輸入的醫學與曆算等技術知識輸出到日本列島。

東北亞的遼東半島、松花江流域與韓半島上的諸部落，從公元前一世紀前後，就開始與漢帝國有許多交往的紀錄。從前一世紀至七世紀，半島上主要有三個王國：高句麗、百濟與新羅。這三個國家在不同時間輸入黃河與長江流域的帝國文明，例如儒家經典，以及佛教這個普世性宗教。除了儒家經典與佛教，帝國文明中的技術性學問，例如天文曆算，也會傳入半島上的三個王國。

尾數是9的訂價會讓人一眼看過去時，覺得比較便宜。通常對於價格不高的商品特別有用，消費者是突然想買這個商品，而非計畫好的，這個影響力也會增大。當經濟不景氣時，人們就更容易計較一分一毫。這時每公升的油價如果下跌一毛錢，就會很多人趕緊去排隊。

相信大家都有塞車的經驗，那時候真恨不得車子全都從眼前消失，或是路變多一條。要車子消失應該是不太可能，除非你是薩諾斯有無限手套……那麼另一個方法，多修幾條路怎麼樣？這時候德國數學家迪特里希·布雷斯會跳出來告訴你：路變多不見得會更好喔！

■有個叫艾卡德 （Shalosh B. Ekhad） 的數學家發表了幾十篇論文，有一些是艾卡德自己獨立署名，另一些是艾卡德和羅格斯大學的數學家齊伯格聯合署名。 但在任何大學的教職員名單上都找不到艾卡德的名子，因為他並不是一個人， 而是一台電腦。齊伯格說自己是艾卡德的「導師」，其實艾卡德是齊伯格操作的一台電腦。

■「三階魔術方塊被打亂後，最少可以用幾步完成還原？」這個問題的答案引起許多人的興趣，被稱作「上帝的數字」。佛雷和辛馬斯特在1982年出版的著作裡面，有討論到這個主題。在他們的證明裡面，上帝的數字在17和52之間。1995年，美國玩家瑞德更進一步，將上帝數字的範圍縮減到20至29。2007年，東北大學兩位計算機科學家古柏曼與他的學生庫柯爾，用平行演算法和120台處理器證明26步內可以還原所有打亂的魔方。

■在台灣這個重視升學的環境，常常看到為了數學問題而頭疼不已的學生。或許你也有過疑問：「數學家是用什麼頭腦來解數學問題，跟一般人不同嗎？」

■精益求精的職人精神，一直是日本文化的招牌印象，反應在日本數學「和算」的發展上，就形成了遺題繼承、算額奉納、流派競技等等日本特有的數學活動。江戶時代的日本數學家，憑藉自身的數學才能，可受聘於藩校任教，躋身於上流社會；至於數學知識的普及化，則是透過開設算學道場招收學生，以及著作包含實用數學知識的教科書進行。

■把大衍曆傳入日本的吉備真備，家喻戶曉的大陰陽師安倍晴明，寫出暢銷數學書《塵劫記》的吉田光由，編纂第一套日本自製曆法的澀川春海，以一己之力製作出第一套日本全國地圖的伊能忠敬⋯⋯講者藉由相關史蹟探訪，引領聽眾一探和算千年以來的精彩人物樣貌。

■數學是人類文化的產物，在不同的社會環境中，會帶出不同的文化活動。朝鮮東算與日本和算在吸收中國與歐洲數學之後，各自發展出獨特的文化面向。中國的算學發展到了明代，由於要符合國際貿易跟貨幣經濟的需要，走向實用主義，天元術等等傳統數學，在中國逐漸式微。反倒是朝鮮王朝的算學家因為曆算需要，繼續鑽研從高麗王朝傳下來的中國傳統算書。

■長期缺乏視覺刺激輸入的視覺皮質，竟然跟數學扯上關係！這是怎麼一回事呢？人類除擁有理解數量和操弄數字與數學符號的能力以外，還具備基本的幾何概念，甚至能夠進行抽象、複雜的數學思考。但是，這些理解和探究高深數學的能力，是怎麼發展出來的？ 有人認為，這奠基於人類的語言能力，例如語言學界的泰斗喬姆斯基（Noam Chomsky）便是其中之一；也有人認為，這起源於基礎數學和空間能力。這兩種解釋其實並不互斥，只不過近年來的幾項研究發現，人類在思考高階數學問題時所動用的大腦區域，和我們在使用語言時所需要的大腦區域幾乎毫無重疊，反而和我們在判斷數量、做簡單的加減乘除、和使用基本的空間能力時所使用的大腦區域有很大的重疊。

■台灣教育的發展，自民國 51 年開始算起，迄今已有半個世紀。課程標準經過數次演變，在民國 72 年定於一尊，之後幾經編修，都沒有脫離原本的脈絡。單維彰老師帶我們回顧這段歷史，並指出其利弊得失，或可作為未來修訂數學課程的參考。

■從民國 41 年國民政府首次頒布《國民學校課程標準》，到 101 年國家教育研究院研擬《提升國民素養實施方案》，台灣的數學教育，已經歷了整整一甲子的演進。從事科學教育研究已有十幾年經歷的劉柏宏院長，帶領我們瀏覽台灣數學課程的重要里程碑，並且對未來的改進方向提出建議。