魔術方塊和數學

圖片出處: photo-ac.com

撰文|賴加翌

魔術方塊的英文是「Rubik’s Cube」,中文直翻就是盧比克的方塊,因為它是由匈牙利的建築系教授魯比克發明的。1974年,他把突發奇想的創意告訴他的學生:由26個小立方體組合的3×3×3的方塊,要讓人可以自由轉動,但每個小方塊都不能掉落。他的學生做出來以後,魯比克就申請了專利。他認為魔術方塊不只是有趣,藝術價值也相當高。之後魔術方塊受到歐洲人的歡迎,而且這股熱潮在1990年代傳到了台灣,現在它已經普及到夜市或路邊攤都隨處可見,YouTube上還有數萬個教學和示範。

●魔方的公式解

轉亂之後的魔術方塊五顏六色隨機分布,對初學者來說看起來很複雜,但就像帶公式解數學題目一樣,也能靠著套用公式來完成。在40幾年的魔方發展史裡,愛好者們除了更新快轉的世界紀錄之外,也不斷地在解法公式上下功夫──越方便簡潔的公式,就越有可能在速度上有突破!網路上流傳的解法很多,最常見的是按順序拆解。第一層和第二層因為限制比較少,所以比較容易。第三層就難很多,轉到位的同時要維持轉好的兩層不被打亂。

 

一個好的公式講求容易記憶,現在網路上已經有很多資源能夠幫助到初學者。利用圖解和表格,再搭配口訣記憶,讓人的學習速度提升不少。很多人投入了半個小時就能成功轉出來,如果再花幾個小時練習,轉成習慣之後就不必一直看著表格。玩了一個禮拜的人,完成速度都會大幅提升,甚至5分鐘就能搞定轉亂的魔方。

●上帝的數字

魔術方塊蓬勃發,許多相關的研究也不斷累積。一個重要的問題:「三階魔術方塊被打亂後,最少可以用幾步完成還原?」這個問題的答案引起許多人的興趣,被稱作「上帝的數字」。佛雷和辛馬斯特在1982年出版的著作裡面,有討論到這個主題。在他們的證明裡面,上帝的數字在17和52之間。1995年,美國玩家瑞德更進一步,將上帝數字的範圍縮減到20至29。2007年,東北大學兩位計算機科學家古柏曼與他的學生庫柯爾,用平行演算法和120台處理器證明26步內可以還原所有打亂的魔方。

之後的研究發展又有許多突破,數學和資訊領域的專家不斷進行合作,在2010年Tomas Rokicki和Morley Davidson的研究團隊再次更新了上帝數字!他們證明我們可以在20步內還原任意打亂的魔術方塊,於是這個被科學家不斷追逐的數字正式被定為20。

●魔術方塊的比賽

魔術方塊的競技已經推展至世界的水平,官方組織世界魔術方塊協會簡稱WCA,他們舉辦各種比賽,並且負責更新世界紀錄。第一屆世界魔術方塊大賽是在1982年,舉辦在魔術方塊的發源地匈牙利,之後每年都在世界各地舉辦。第一屆的冠軍用22秒成功還原3階魔方,而近年來由於公式的改進,和越來越多玩家的投入交流,中國大陸的參賽者杜宇生在2018年的公開賽中,以3.47秒刷新了單次還原的世界紀錄。而世界比賽除了傳統的競速之外,還有比賽單手、腳解、盲解、最少步驟還原等等豐富的項目。

●機器解魔方

Cnet 在2018年刊登了一則有趣的新聞, MIT的學生 Ben Katz 及 Jared Di Carlo  做出了一台可以解魔術方塊的機器人。令人嘆為觀止的是,它只用 0.38 秒就完成了,連眨個眼的時間都不到,打破了之前的德國機器人以0.637 秒完成的紀錄。 Ben Katz 及 Jared Di Carlo表示,機器人其實只花了 0.335 秒來轉動方塊,另一些時間在讀取圖像和顏色。他們認為馬達的好壞是轉速的關鍵,如果再進一步改良,有機會再進步 0.1 秒。

●魔術方塊和數學

魔術方塊是一個很複雜的遊戲,裡面牽扯到的數學有代數、群論、數論,有些相關著作比如《魔術方塊中的數學講義》、《魔術方塊中的群論》、《群論與魔術方塊》等等,不只是用數學的角度來分析魔方,更用它來做數學的教學。

數學還讓魔方的比賽選手在場上有更好的表現。賓漢頓大學的Jessica Fridrich教授設計了大約100 個公式,如果使用其中的四到五個,就可以將魔方完成,連世界級的玩家都參考她的解法。

就算不說高等數學,魔方玩家判斷公式的過程、用眼前信息推理方塊後面的排列,這些都是在發揮腦中的數學思維。所以除了得到成就感、追求自己的突破之外,魔方還幫助玩家增進數學思考的能力。

 

參考資料: 

1.K.A.Abitha, &Pradeep K.Bharathan, Secure Communication Based on Rubik's Cube Algorithm and Chaotic Baker Map. Procedia Technology, 24, 782-789. 2016

2.Chanchal Khemani, Jay Doshi, Juhi Duseja, Krapi Shah, Sandeep Udmale, &Vijay Sambhe, Solving Rubik’s Cube Using Graph Theory. Computational Intelligence: Theories, Applications and Future Directions, 1,301-317. 2018

3.AMANDA KOOSER, See a robot solve a Rubik's Cube ridiculously fast. Cnet. 2018

 

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