大宇宙小故事

黎曼當初所定義的流形相當抽象，幾乎難以望文生義。幸好他舉了一個平易近人的例子──色彩是一種連續的流形──讓我們得以藉此體會他的想法。比方說，通常我們會用「色譜」或「色彩空間」作為色彩的具體模型，因此根據黎曼的定義，這些(一維、二維、三維)的幾何結構都是所謂的流形。

絕妙定理雖然有點深奧，但大可用如下方式理解：我們已經知道「球面上的二維生物有辦法確定自己生活在球面上」，絕妙定理則將這個結論推廣成「任何曲面上的二維生物都有辦法確定自己生活在曲面上，而且能用不假外求的方法測量出各處的彎曲程度，也就是所謂的曲率」。

高斯曾主持一個龐大的測地計畫，斷斷續續花了三十年時間，仔細丈量漢諾威王國境內的土地。由於這個工作和他的研究領域(數學、物理、天文)多少有些落差，使得許多朋友感到不解，甚至有人替他覺得不值。
事實上，在高斯感興趣的數學主題中，至少有兩項和這個測地任務息息相關，那就是非歐幾何與曲面理論。

牛頓所用的符號和數學工具略遜於萊布尼茲，但英國數學家為了表態效忠祖國，在整個十八世紀都避免使用萊布尼茲的符號和工具(還有一個原因，就是牛頓的學術威權在英國形成「白色恐怖」)。數學史研究者一致認為，凡是與微積分相關的學問，英國在這段時期都大大落後歐陸。等到他們驚覺事態嚴重，一個世紀已經白白浪費了。

如果你將笛卡兒的《幾何學》從頭到尾翻閱一遍，會覺得作者忠實繼承了古希臘的傳統，並未探討解析幾何的任何應用。
千萬別以為笛卡兒真的效法古希臘學者，純粹是為研究而研究，為發明而發明。我們剛才已經提到，笛卡兒的動機與目的非常明確──用以示範《談方法》是多麼強而有力的工具；唯有使用這門內功心法，才能發展出讓幾何與代數水乳交融的解析幾何。

克卜勒在十七世紀初，根據大量的觀測數據，大膽推測行星軌道都是橢圓(亦即所謂的克卜勒第一定律)。七十多年後，當牛頓撰寫《自然哲學的數學原理》時，發現阿氏(Apollonius)早就為他準備好了幾何工具。換句話說，牛頓是站在阿氏肩上證明出下列事實：太陽系的天體軌道一定是圓錐曲線；橢圓軌道對應於行星和週期彗星，拋物線和雙曲線則對應非週期彗星。

一眼就能看出來，羅馬算盤的「位數」非常明顯，這是它和羅馬數字最大的不同，也正是它便於計算的主因。
令人難以置信的是，羅馬人一直把這種算盤當成實體的計算工具，從未想到把它轉移到書面上。因此羅馬工程師在做計算時，會先根據羅馬數字撥弄算珠(等於轉換成「位數制」)，最後再把計算結果(在心中做一次反轉換)用羅馬數字寫在羊皮紙上。

總而言之，請千萬別懷疑阿基米德在數學史上的頂尖地位──不但是古代最偉大的數學家，還是古往今來三大數學家之一。巧合的是，在世界軍事史上，本文的另一位主角也享有類似的地位，可見史家並不以成敗論英雄。不過，倘若漢尼拔拚了老命解救阿基米德，讓老科學家能繼續發揮餘熱，想必後人會更加敬佩他。

阿基米德這個名字非常響亮，所以你很容易從網路上查到他是古希臘的數學家、物理學家、天文學家、發明家、工程師，而且還是有史以來最偉大的三位數學家之一。
不過，有一件事情，你大概不容易查到，那就是連足球都是阿基米德發明的。
看到這裡，一定有人會說：不對吧！別急，我說的不是足球這種運動，而是足球的形狀是阿基米德發明的。

很早以前就有人指出「有理數」和「無理數」是錯誤的翻譯──嚴格說來是日本學者犯的錯，而我們只是將錯就錯。因為根據定義，能夠寫成「整數除以整數」的實數稱為有理數(例如2/3或-3/2)，不能這麼寫的則是無理數(例如圓周率或二的平方根)。因此之故，這兩個數學名詞的正確翻譯應該是「比例數」和「非比例數」。

話說公元前四世紀，亞歷山大大帝猝逝之後，他的帝國分裂成四大部分，其中位於埃及的托勒密王國就是歐幾里得的故鄉。歐幾里得和這個王國大約同時誕生，一生最重要的成就便是編寫《原本》這本書。傳說中，托勒密王國的開國君主曾請教他學習幾何的捷徑，歐幾里得的經典回答是：「幾何，無君王之路。」

話說兩千多年前，有個名叫歐幾里得的作家編了一本書，收錄將近五百則民間故事。
由於古代社會沒有著作權的觀念，歐氏在書中未曾提及這些故事的來源或出處。整本書從頭到尾，只有他一個人的名字，因而造成後世讀者不少誤會。

話說畢氏某天經過一間打鐵舖，聽到打鐵聲竟然相當悅耳，便好奇心大發，當場做起研究。由於他聰明絕頂，很快發現了其中的奧秘。原來四名鐵匠所用的鎚子，重量分別是6, 8, 9, 12(斤)──簡單整數比！於是他趕緊衝回家，改用琴弦來做實驗，很快就歸納出類似的規律：只要兩條琴弦的長度成簡單整數比，例如4:3, 3:2, 2:1，發出的聲音就會和諧悅耳。用現代術語來說，這三組音程分別是完全四度(相差5個半音)、完全五度(相差7個半音)以及完全八度(相差12個半音)。

除了哲學家，泰利斯最有名的身份應當是天文學家。例如有不少人相信，他曾在夜觀天象時一不小心掉進井裡(因為這是柏拉圖的記載)。此外有更多的人相信，泰利斯曾經藉著預言日食，終止了一場至少長達六年的戰爭。
交戰雙方是利底亞與其強鄰米底王國，話說雙方打得難解難分之際，泰利斯突然公開預言「明年會有日全食」，或許還加上「因為天神不樂見人類自相殘殺」之類的警語。結果在次年五月，一場會戰剛剛開打，日全食居然真的出現了！

如果你覺得這個題目有點奇怪，那是因為完整的題目是〈除了蘋果與風箏，牛頓和富蘭克林還有多少交集？〉
信不信由你，他們兩人的交集還真不少，所以我們閒話少說，直接進入正題，而且一律採用「有話則長、無話則短」的原則。