【大宇宙小故事】13 原本就是原本

撰文|葉李華

一九三零年代,幾位法國數學家展開一項雄心萬丈的計畫,打算寫一套「顛覆數學界傳統」的高等數學教科書。

他們使用布巴基(Nicolas Bourbaki)這個共同筆名,經過半個多世紀的努力,寫出十一冊影響深遠的巨著。不過,可別以為布巴基的影響力僅限於高等數學,比方說,中學生都知道「空集合」是什麼,而空集合的通用符號(Ø)正是布巴基首倡的。

布巴基有許多令人莞爾的事蹟,例如剛開始的時候,成員將這個團體視為秘密結社,堅決否認布巴基是筆名。直到一九五七年,一位美國數學家為文介紹這個團體,學術界才驚覺這位「數學才子」竟然是個虛擬人物。

如今,布巴基的原始成員凋零殆盡,但布巴基這個虛擬人物依然健在,甚至在巴黎高等師範學院擁有一間辦公室,繼續經營這套統稱為《數學原本》(Elements of Mathematics)的不朽巨著(目前已擴充至十二冊)。

布巴基的一言一行都富有深意,《數學原本》這個名稱當然不例外,明眼人都看得出來,他們是要向歐幾里得的《幾何原本》(Elements)致敬。或者也可以說,這是他們的自我期許,希望《數學原本》能像《幾何原本》那樣,在數學界發揮長達千年的影響力。

大家一路讀到這裡,不知道有沒有發現什麼問題?如果沒有,請回過頭再看看那兩個書名的英文,然後好好想一想。

(我則趁機打個岔:上面的兩個書名,原文分別是法文與希臘文,在此改用英文純屬便宜行事。好在這兩個英譯書名能和原文一一對應,並不算是全然的二手資料。)

發現問題了嗎?是的,《幾何原本》這四個字好像和原文書名有些出入,換言之,當年利瑪竇和徐光啟翻譯這本書的時候,在書名的考量上,似乎並未遵循忠於原著的原則。

這背後莫非有什麼隱情?答案是肯定的。不過由於問題十分複雜,必須另闢專章討論,所以在此只能強調,讓我們從現在起,改用《原本》來指稱這本古希臘的數學經典。

以上只能算開場白,本文真正的目的,是要好好談談《原本》這本書。

●謎一般的作者

通常要深入討論一本書,當然應該從作者談起,可是很抱歉,《原本》雖然是歷史悠久的暢銷書兼長銷書,作者歐幾里得卻是謎一般的人物。或許正因為反差太大了,有些數學史研究者曾發奇想,認為「歐幾里得」可能是幾位希臘學者的共同筆名!這個奇想的靈感來自何處,就不用多說了吧。

(如果能用「奇想」研究歷史,那麼我也會:幾百年後,有人用時光機將布巴基的著作傳回古希臘,被一個名不見經傳的學者發現,整理出他看得懂的一小部分……)

畫家筆下的歐幾里得(圖像來源:維基百科)

因此,雖然歐幾里得的生平資料少得出奇,為了避免他被虛擬化,在此還是要設法介紹一下。話說公元前四世紀,亞歷山大大帝猝逝之後,他的帝國分裂成四大部分,其中位於埃及的托勒密王國就是歐幾里得的故鄉。歐幾里得和這個王國大約同時誕生,一生最重要的成就便是編寫《原本》這本書。傳說中,托勒密王國的開國君主曾請教他學習幾何的捷徑,歐幾里得的經典回答是:「幾何,無君王之路。」

上文特別使用「編寫」這兩個字,言下之意《原本》的內容大多並非歐幾里得原創(頗為類似孔子的「述而不作」)。事實上,歐幾里得在數學上真正的貢獻,是以十分有系統的方式,將他那個時代的數學整理出一個完美的架構。

再強調一次,《原本》的內容並非僅限於幾何學,而是盡可能將當時的數學成就一網打盡,但由於幾何在書中比例最重,其他的主題(數論與代數)也都佐以圖形,難免讓人產生它是幾何專論的誤解。正是這個緣故,歐幾里得贏得了「幾何學之父」的美譽──雖然嚴格說來,應該是「幾何學教育之父」才對。

看到這裡,想必大家很想知道《原本》到底是用什麼方式編寫的。這個問題大可倒過來回答,請找一本用現代語言翻譯的《原本》,隨手翻一翻,你很可能會以為這是現代人編寫的數學課本。

原因很簡單,歐幾里得在《原本》中創立了一個標準架構,從此以後,西方的數學著作(乃至數學論文)一直都是這麼寫的。甚至有一段時期,連物理學與天文學著作都依樣畫葫蘆。

●兩大精神

在這個標準架構中,最重要的兩大精神是「抽象化」與「公理化」。

「抽象化」讓數學得以從現實世界抽離,成為一種獨立於自然界的抽象結構。例如幾何學的前身是研究土地丈量的學問(Geometry=Geo+metry=地+量),但我們在《原本》中已經完全看不到土地的影子(書中沒有任何應用題)。又如這本書裡的「數」都是抽象的,比方說三就是三,不必對應三隻小貓或三隻小狗。

「抽象化」最明顯的優點在於能將數學的用途推廣到極致,例如3+4=7這個結果可以有無窮多的應用,三元加四元等於七元,三隻小貓加四隻小狗等於七隻動物……(事實上,《原本》所討論的數還更抽象,所以書中只有a+b, 並沒有3+4)。另一個優點則是能避免歧異,舉例而言,雖然圓形在自然界處處可見,但是真實的圓形各有各的瑕疵,沒有兩個是一模一樣的;唯有數學中的「圓」才完美無瑕,百分之百服從幾何學的定義,因而放諸四海皆準。

《原本》九世紀希臘文抄本(圖像來源:維基百科)

至於「公理化」是什麼,需要先從公理的意義談起。

公理可以解釋為「不容懷疑或不證自明的道理」,例如「整體大於局部」這個概念就符合人同此心、心同此理,絕對不會有人提出異議。而在《原本》中,歐氏使用十個公理當作整套書的邏輯基石(書中稱為五個公設和五個公理,其實沒必要如此細分)。換句話說,這本數學巨著中的每一項結果與結論,都能從這十個公理出發,經由邏輯推理而得。

這就是公理化的威力,這也意味著數學勢必發展成一門純粹使用腦力的學問(不必進行實驗或觀測,更不必做田野調查)。因此之故,在西方的學術傳統中,通常不將數學視為自然科學。另一方面,由於任何自然科學多少都會用到數學,使得數學理所當然成了自然科學之母。

追本溯源,《原本》是這一切發展的源頭。

 

附錄:公理化的實例

《自然哲學的數學原理》是牛頓的傳世之作,全書僅以三個公理當作基石。

  公理一、每個物體都傾向於保持靜止或等速直線運動的狀態,唯有受到外力作用,它的狀態才會被迫改變。

  公理二、動量的變化總是正比於外力,並沿著外力的直線方向進行。

  公理三、每個作用都會引發一個等值的反作用,換言之,兩個物體施於彼此的作用總是大小相等、方向相反。

如果你覺得這三個公理似曾相識,那是因為它們的另一個名稱是「牛頓(三大)運動定律」。不過,牛頓在撰寫這本書的時候,刻意模仿《原本》的結構,因此也將這三大定律稱為公理,並放在全書開宗明義的位置(僅次於八個定義)。由此可知,這本物理學的經典之作實質上是一本數學書(所以書名中有「數學」兩字)。

《自然哲學的數學原理》之所以那麼成功,採用公理化正是最主要的原因。因為無論哪個公理,都是將真實世界的規律加以簡化的結果,正因為簡化,所以易於研究。

想必有人不禁要問:「牛頓運動定律」居然是簡化版?沒錯,比方說,根據愛因斯坦的狹義相對論,「牛頓第三運動定律」僅適用於接觸力(例如摩擦力),對於超距力(例如磁力)並不完全正確,只能算是一種粗略的描述。

由於數學公理都是真實規律的簡化版,利用數學描述真實世界一定會有局限。例如根據「牛頓運動定律」發展出來的力學,只能描述速度不太大的運動。另一個著名的例子則近在眼前,根據「歐幾里得公理」發展出來的歐氏幾何其實也有局限性,並非所有的空間皆能適用。

至於歐氏幾何應該如何修正或推廣,當然也要另闢專章才能討論了。

《自然哲學的數學原理》1729年英譯本(圖像來源:Google books)

 

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