【大宇宙小故事】19 解析幾何解析

撰文|葉李華

夢中靈感的例子在科學史上頗為常見,最有名的一樁或許是德國化學家凱庫勒(August Kekule, 1829-1896)夢見一條「銜尾蛇」,醒來之後立刻想到苯分子具有環狀的結構。

這個夢境簡單明瞭,和凱庫勒的科學發現又很契合,因此可信度非常高。

反之,越是複雜的夢境,就越容易被後人穿鑿附會,著名的「笛卡兒之夢」便是最好的例子。

根據笛卡兒的自述,那些夢給了他一柄「解開自然真相的鑰匙」,於是有些作者聲稱解析幾何就是那天晚上誕生的。這種過度簡化的說法和牛頓的「蘋果」有異曲同工之妙,只能當作稗官野史來欣賞。

至於真實情形究竟如何,就讓我們話說從頭吧。

笛卡兒像(圖像來源:維基百科)

●三個夢

笛卡兒(René Descartes, 1596-1650)生於法國中部的笛卡兒鎮(當然是後來改名的,由此可見法國人多麼崇拜他)。由於自幼體弱多病,他養成賴床的習慣,總是接近中午才起床(其實是在床上研究學問)。諷刺的是,大學畢業兩年後,他雖然沒戒掉這個習慣,仍然順利加入荷蘭的傭兵集團。

根據歷史記載,笛卡兒頂多參加過一場戰役,其餘時間只是跟著部隊到處調防(因為是傭兵,雇主相當多元)。公元1619年11月10日,當時部隊駐紮在德國的紐因堡,身為軍官的笛卡兒獨自一人睡在寢室,一夜之間做了三個耐人尋味的夢。

他曾詳細寫下夢境的內容,雖然原始文件已經失傳,好在第一位替他立傳的作者(Adrien Baillet)間接讀過那份手稿,將三個夢詳實記錄在《笛卡兒的一生》這本書中(濃縮如下)。

第一個夢:笛卡兒在狂風中吃力地走向校園的教堂。

第二個夢:他聽到一聲巨響,以為自己驚醒了,(在夢中)睜眼一看,四周竟然都是火花。

第三個夢:他發現桌上有兩本書,一本是字典,另一本是詩集。他在半睡半醒中開始解夢,認為前者代表科學,後者代表智慧與哲學。

●內功心法

誰都看得出來,在這些夢境中,根本沒有解析幾何的影子。

那麼「解開自然真相的鑰匙」究竟是指什麼呢?雖然笛卡兒從未明說,但根據史料研判,最可能的答案是「科學方法」!

且說經過多年的摸索與探討,笛卡兒終於在1637年寫成《談方法》一書。這本書的全名很長:《談談進行正確推理及求索科學真相的方法》,充分透露了作者的雄心壯志。

在笛卡兒心目中,這本《談方法》乃是萬能的內功心法,任何人只要潛心修練,就能達到一法通、萬法通的境界,從此以後,無論遇到任何(自然)科學難題,只要依法施為,皆能迎刃而解。

內功心法通常都言簡意賅,《談方法》當然不例外。不過為了示範它的實際應用,笛卡兒在不到八十頁的本文後面加上三個附錄──每個附錄都是一本完整的著作,而且篇幅都超過本文,他卻一點也不擔心喧賓奪主。

這三個附錄依序是《光學》、《氣象》以及《幾何學》,其中附錄三正是解析幾何的發源地。笛卡兒特別強調「吾道一以貫之」,換句話說,這些多元的成果都是他用《談方法》當工具所製造的產品。

看到這裡,大家應該對《談方法》的內容感到有點好奇了,沒問題,主角立刻登場。

  1.無論任何事物,只要我仍有一絲存疑,就不可信以為真。換言之,要極力避免驟下結論或先入為主;除非能夠排除一切疑慮,絕不輕易做出判斷。

  2.每當碰到難題,盡可能將它分解成許多細節,以利於為每個細節找到滿意的解答。

  3.進行思考時,要從最容易瞭解的部分切入,然後逐步升級。面對沒有先後關係的事物,也要設法定出一個順序。

  4.對每個環節都要進行最完整最徹底的檢查,確保沒有任何疏漏。

上述四條「口訣」出自《談方法》第二章,公認是該書最精華的部分。至於大家耳熟能詳的「我思故我在」,最早的出處也是這本書(第四章)。由於《談方法》全書以法文寫成,笛卡兒後來又在另一本著作《哲學原理》中,用當時的學術語言拉丁文將這句話重寫一遍,成為如今流傳最廣的版本(Cogito ergo sum)。

●人算不如天算

就現代觀點而言,無論是在純數學或應用數學的領域,解析幾何的重要性皆無庸贅言。但如果你將笛卡兒的《幾何學》從頭到尾翻閱一遍,會覺得作者忠實繼承了古希臘的傳統,並未探討解析幾何的任何應用。

千萬別以為笛卡兒真的效法古希臘學者,純粹是為研究而研究,為發明而發明。我們剛才已經提到,笛卡兒的動機與目的非常明確──用以示範《談方法》是多麼強而有力的工具;唯有使用這門內功心法,才能發展出讓幾何與代數水乳交融的解析幾何。

不過,這只是笛卡兒一廂情願的想像……

就在《幾何學》即將出版之際,笛卡兒聽說某位法國業餘數學家並未使用這套心法,竟然也誤打誤撞,摸索出類似的幾何學!

這豈不代表《談方法》並沒有作者聲稱的那麼偉大,並不是什麼仙丹靈藥,頂多只是有益健康的補品罷了。

笛卡兒雖然是一位偉大的學者,享有「近代哲學之父」甚至「近代數學之父」的美譽,這些成就卻並非心胸寬大或人格高尚的保證。在獲悉雙胞案之後,他絲毫不顧同胞之情,對那位業餘數學家展開口誅筆伐,經過多年的努力,終於如願以償,在一般人心目中爭得「解析幾何唯一發明人」的印象。

至於那位業餘數學家,儘管遭到笛卡兒打壓,終究還是名留青史(你應該聽過「費馬最後定理」吧)。但他的生平事蹟太豐富,最後這點篇幅寫不下,只好另找機會再談。

《幾何學》原版的兩頁(圖像來源:Internet Archive)左頁的插圖完全看不出「座標幾何」的味道,右頁則有兩個類似直角座標的結構。

註一:如果採用廣義的標準,古希臘數學家已經懂得使用座標。例如在《圓錐曲線》這本經典名著中,阿氏(Apollonius of Perga)每當畫出橢圓、拋物線或雙曲線之後,幾乎都會在其上畫一些類似座標軸的輔助線──必須強調的是,在這些輔助線中,只有一條可以算是主要的座標軸,其餘皆處於次要地位。

然而,我們不能說古希臘數學家已經發展出原始的解析幾何。因為在解析幾何中,座標應該是先天的,並非隨著解題過程逐漸產生。正如傳統的舞台劇,必須先搭好舞台,演員才能登台表演。

註二:大家都知道解析幾何又名座標幾何,但或許很少有人想到「座標幾何」是理所當然的名稱,「解析幾何」則有點不知所云(偏偏後者一直佔上風)。

這不能怪笛卡兒,也不能怪費馬。雖然他們兩位是解析幾何的發明人,這個古怪的名稱卻不干他們的事。

根據現有的資料,這個名稱最早出現於法國數學家洛氏(Michel Rolle)一篇論文的題目,時間是1709年。至於洛氏為何稱之為「解析幾何」,目前仍舊眾說紛紜。

註三:笛卡兒與費馬的解析幾何內容大同小異,主要差異在於笛卡兒從曲線出發,尋找對應的方程式,費馬的順序則剛好相反。

另一方面,兩人都繼承了古希臘的傳統,僅使用一個座標軸,另一個軸則扮演輔助的角色,不一定明顯畫出來──即使畫出來,兩個軸也不一定垂直。換句話說,他們兩人從來沒有真正用過平面直角座標。

至於「兩軸平等」究竟是誰首倡的,數學史家目前還沒有定論。可以肯定的是,在牛頓的手稿裡,已經出現兩軸幾乎平等的直角座標。

註四:平面解析幾何的兩個座標軸,中文稱為「橫座標」與「縱座標」,完全可以顧名思義。但是在西文中,卻無法看出兩者有任何親屬關係(以英文為例,前者為abscissa, 後者為ordinate)。追根究柢,正是因為在笛卡兒與費馬心目中,這兩個座標軸的地位並不相等。

既然談到這裡,順便將幾個名詞的字源整理如下:

座標(coordinate):英文原意顯然與「縱座標」有關。

橫座標(abscissa):源自阿氏《圓錐曲線》的希臘文原本。

縱座標(ordinate):源自《圓錐曲線》的拉丁文譯本(ordinatim applicata這個詞)。

Z座標(applicate):同上(中文沒有正式譯名,「豎座標」是不錯的選擇)。

象限(quadrant):英文源自「四」的字首(quad-),中文源自《易經》的「四象」。

卦限(octant):英文源自「八」的字首(oct-),中文源自《易經》的「八卦」。

 

加入好友

1,398 人瀏覽過