【大宇宙小故事】15 誰發明了足球

撰文|葉李華

阿基米德(Archimedes, 287?-212 BC)這個名字非常響亮,所以你很容易從網路上查到他是古希臘的數學家、物理學家、天文學家、發明家、工程師,而且還是有史以來最偉大的三位數學家之一。

不過,有一件事情,你大概不容易查到,那就是連足球都是阿基米德發明的。

看到這裡,一定有人會說:不對吧!別急,我說的不是足球這種運動,而是足球的形狀是阿基米德發明的。

或許又有人會說,足球當然是球形,可是球形還需要誰來發明嗎?

好吧,我的意思是「足球表面的紋路」是阿基米德發明的!不過,為了避免再有誤會,我們還是先找個足球來,看看它的紋路到底是什麼樣子。

圖像來源:維基百科

首先,請仔細觀察這些紋路是由哪幾種多邊形組成的。嗯,是不是只有五邊形和六邊形兩種?更精確地說,它們是正五邊形和正六邊形。

接著請大家數數看,足球表面到底有幾個五邊形,又有幾個六邊形?

答案是:五邊形共有十二個,六邊形共有二十個。換句話說,一個足球是由三十二片皮革縫製而成,所以嚴格說來它根本不是球形,而是一個三十二面體。

接著我們要來研究一下,這個三十二面體的表面是否有什麼規律。

要回答這個問題,最好的辦法就是抱著足球多轉幾圈,然後你就會發現,這些五邊形和六邊形的排列非常對稱,無論你把足球怎麼轉,看起來都沒有任何差別。

所以我們說足球表面是個規則的多面體,這個多面體的正式名稱叫「截角二十面體」,而這個形體確確實實是阿基米德發明的。

截角二十面體(圖像來源:維基百科)

至於阿基米德怎麼會發明這樣的形體,背後當然有一個引人入勝的故事。

且說早在阿基米德出生之前,古希臘早就累積了許多數學成就。比方說,大家都知道柏拉圖是著名的哲學家,可是很少有人知道,柏拉圖的數學程度也很好。他曾經在自己的著作中,提到正多面體總共有五種。所以直到現在,數學家仍將這五種正多面體統稱為「柏拉圖多面體」。

在此必須強調一下,柏拉圖多面體並不是柏拉圖發明的,只能算是由他做了總整理。這種情形在科學史上屢見不鮮,例如《(幾何)原本》的內容大多是前人的成果,但由於作者歐幾里得整理得太好了,所以現在我們都有個錯覺,覺得歐幾里得就是幾何學的始祖。

順帶一提,《原本》最後一卷就是柏拉圖多面體的專章,其中嚴格證明了絕對沒有第六種正多面體。

有人以為歐幾里得就是阿基米德,那是大錯特錯!翻遍歷史,他們兩人唯一的關係,就是後者在著作中曾經提到前者,這便說明了阿基米德是後生晚輩。

回到正題,我們來看看柏拉圖多面體到底有哪五種。

答案可以一口氣說完:正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

五種正多面體(圖像來源:維基百科)

其中正六面體當然最簡單,它就是我們俗稱的正方體。正四面體雖然看起來有點像金字塔,實際上並不相同。因為金字塔底下的那一面是正方形,正四面體底下則是正三角形,和旁邊的三面完全一樣。

看到這裡,你應該能體會正多面體的意義了,那就是必須每一面都完全一樣──不但形狀一樣,彼此之間的相對位置也得一律相同。

反之,剛才提到的金字塔就不是正多面體,因為它底下的那一面是正方形,旁邊的四個面卻是三角形。

所以請記住,正多面體只有五種,不包括金字塔在內。這五種正多面體彼此之間有很多有趣的關係,比方說,正六面體表面有八個角,而正八面體表面有六個角,可以說彼此剛好相反。

同理,正十二面體和正二十面體也有類似的關係;正十二面體有二十個角,而正二十面體有十二個角。

談到這裡,我們就可以來解釋截角二十面體的意義了。顧名思義,「截角二十面體」就是把正二十面體的每個角都切掉,不過當然不是隨便切,而是要遵循一定的規律,然後就會得到標準的足球表面紋路。或許我們可以打個比方,正二十面體有如粗胚,而截角過程就是把粗胚打磨成藝術品。

現在如果我再問你一次,足球表面到底是由幾片皮組成的,你應該立刻就答得出來。那就是原來的二十面,加上截角之後產生的十二面。(為什麼是十二面?很簡單,因為原來有十二個角。)所以,加起來總共有三十二個面。

我們剛才已經討論過,這三十二面並非通通相同,有些是五邊形,有些是六邊形。那是因為原來的二十面體本來是由三角形組成的,可是在截角之後,三角形通通變成了六邊形,而新產生的十二個面,則個個都是五邊形。

接著讓我們來探討阿基米德發明這個形體的心路歷程。不過由於史料有限,下面的敘述只有八成的根據,另外兩成則是合情合理的推測。

阿基米德雖然是古代最偉大的數學家,可惜生得太遲,雖然他很想成為正多面體的發明人,不料翻開書本一看,哎呀,柏拉圖的名字早就和正多面體連在一起了。即使自己再有能耐,也不可能讓時光倒流,讓歷史改寫吧。

阿基米德不愧是阿基米德,他靈機一動,想到何不把柏拉圖的正多面體錦上添花一番,於是他就從正二十面體,創造出截角二十面體。由於在此之前,從來沒有人創造出這個形狀,阿基米德順理成章成了截角二十面體的發明人。

既然想到錦上添花這個妙招,阿基米德一不做二不休,索性想盡各種辦法來改造五種柏拉圖多面體,收穫非常豐富。根據歷史記載,他前前後後總共發明了十三種這樣的多面體。所以說,如果你無意中看到「阿基米德多面體」或是「阿基米德立體」這樣的名詞,千萬不要以為就是指足球的形狀,因為那是十三種多面體的統稱。

這個小故事給我們一個很好的啟示:不管先聖先賢已經有多少發明、多少發現、多少成就,只要你肯多動腦,一定能夠站在他們的肩膀上,設法更上一層樓。

講完這個故事,我們可以再補充一點科學知識。在化學領域中,截角二十面體也有一席之地。話說一九八零年代,化學家用碳原子合成了一種分子,在仔細分析之後,赫然發現它的結構就是不折不扣的截角二十面體。

這種分子的學名很古怪(Buckminsterfullerene),但有個可愛的暱稱叫足球烯。每個足球烯由六十個碳原子組成,那是因為截角二十面體表面共有六十個角,每個碳原子剛好佔據一個,所以不多不少,剛好每個分子都有六十個碳原子,除此之外沒有任何雜質,因此它的分子式為C60

足球烯本身也有些小故事,有機會再慢慢說吧。

足球烯模型(圖像來源:維基百科)

 

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