【大宇宙小故事】22 不假外求

《平面國度》第一版封面(圖像來源:維基百科)

撰文|葉李華

公元1884年,一位英國教師以「方塊」為筆名,寫了一本寓意深遠的數學科幻小說,書名叫《平面國度》(Flatland)。在那個虛構的二維世界裡,萬事萬物都沒有厚度或高度,包括生物在內。有趣的是,那些生物不但有智慧,還有性別之分,男性是各種多邊形,女性則一律是直線,這樣的安排想必讓佛洛伊德的門徒失望了。

這個故事至少有兩個續集,書名分別是《球面國度》(Sphereland, 1965)與《更平的國度》(Flatterland, 2001),不過作者當然另有其人。

我自己在看這個故事的時候,不禁想到一個耐人尋味的問題:那些二維智慧生物能否發展出(歐氏)平面幾何學?這個問題和《平面國度》並沒有直接關係,即使你對那本書完全陌生,也請放心繼續讀下去。

答案是,只要他們足夠聰明,一定能發展出完整的平面幾何學。換句話說,那些智慧生物唯一的限制,就是他們自己的智商。原因很簡單,平面幾何是一門自給自足、不假外求的學問;在研究這門學問的時候,完全不必用到其他的空間或維度。

舉例來說,「輔助線」是平面幾何的常客,而輔助線當然要畫在同一個平面上。至於作圖題,則是在平面上畫出直線或圓,和其他維度沒有任何關係──倘若你硬要說圓規是立體的,那就是抬槓了。

因此,用現代數學語言來說,平面幾何是一種「內蘊幾何」(intrinsic geometry)。

●平起不平坐

相較之下,球面幾何學就不太一樣。

早在古希臘時代,球面幾何和平面幾何的重要性就不相上下。因為地球表面是球面,而天球也是球面,所以古希臘學者對這門學問相當重視,累積了許多重要的成果。

球面本身是二維空間,但必須由三維空間來容納。因此之故,古希臘學者雖然重視球面幾何,內心深處卻認為它是立體幾何的藩屬,並非一門獨立的幾何學。就這個觀點而言,球面幾何就不能和平面幾何等量齊觀。換言之,在古希臘學者眼中,球面幾何不能算是「內蘊幾何」,而是和它針鋒相對的「外求幾何」(extrinsic geometry)。

為了避免越說越抽象,趕緊來講個實際的例子。

我們曾在<平的還是圓的>這篇文章中,討論過古希臘人如何知曉地球的形狀。但若仔細推敲,他們所用的方法都牽涉到外在空間,沒有任何例外。

天文法(根據月食的陰影或恆星的位置)自然不在話下,至於另外幾個方法,同樣必須引進外在空間。

  1.航行在大海中的船隻,如果駛近某座島嶼,船員一定先看到島上的山峰,然後整座山才會慢慢「浮現」。

說明:既然是山峰,一定高於海平面,因此位於「二維地球」之外。

  2.航行中,船長常會派一名水手爬上桅杆,如果附近出現船隻或陸地,一定是這名水手最先發現。

說明:如果我們將帆船視為緊貼地表,桅杆就一定高於海平面。

  3.如果你站在海邊目送船隻離去,會覺得那艘船是逐漸消失的;當船身被地平線吞沒時,船桅和船帆仍舊依稀可見。(原因同上)

●知易行難

然而,有沒有任何「不假外求」的方法,能夠確定世界不是平的呢?或者換個方式來說,如果我們身邊真有二維智慧生物,他們有沒有辦法確定地球並非一個平面?

當然有,而且方法不只一種,不過由於地球太大而弧度太小,這些方法一律說來容易做來難,但至少理論上是可行的。

方法一:在地球表面畫一個圓,然後測量它的「圓周率」。

在平面幾何中,圓周的長度是半徑的2π倍(其實這是π的定義)。但是,請想像你在北極釘下一根木樁,然後以這根木樁為圓心,用一條繩子當半徑,在地表畫出一個圓形,那麼你就會發現,圓周和半徑的比值一定小於2π,因此「圓周率」小於π。

如果你覺得有點難以想像,教你一個訣竅:把那個圓盡量擴大,例如變成赤道,這時圓周剛好是「半徑」的四倍,因此「圓周率」等於二(果然小於π)。這樣是不是比較清楚了?

方法二:在地球表面畫一個三角形,然後測量它的內角和。

如果這個方法讓你聯想到高斯的事蹟,抱歉,那是錯誤聯想。

高斯當年所測量的大三角形,三個頂點位於三座山的山頂,三個邊則是飄浮在空中的光線(請參考<歐幾里得與世界大戰>)。這裡所討論的三角形則是緊貼地面,所以它的操作型定義是:釘下三根木樁,然後用繩子在木樁之間拉出邊界(因此繩子必須拉緊,不能有任何鬆弛)。

這些緊繃且緊貼地面的繩子,學名叫作「測地線」或「(最)短程線」。雖然它們其實是曲線,但由於地球表面並沒有真正的直線,因此可將這些曲線視為「球面上的直線」。

地球上的每一條經線都是測地線,但緯線則不然──除了赤道其他都不是。如果你一時難以接受,再教你一個訣竅:請想想,北極附近的經緯線看起來像不像蜘蛛網?而在這個蜘蛛網中,是不是只有經線類似直線?

順帶一提,在地球表面,你不可能畫出比赤道更大的圓形,所以我們稱它為「大圓」,相較之下其他緯圈都是「小圓」。如果把赤道轉九十度,它就會通過南北極,也就是跟某些經線重合,這就意味著經線也是大圓(的一部分)。因此我們歸納出一個結論:球面上的測地線皆為所謂的「大圓」。

接下來,請想像那三根木樁,一個釘在北極,兩個釘在赤道(相隔多少經度都可以)。這樣的一個「等腰三角形」,三邊分別由經線和赤道組成,所以內角和一定大於180度──因為經線和赤道垂直,其中兩個內角加起來已經等於180度。

總而言之,我們完全不必借用其他空間,就能確定地球表面的「圓周率」小於π,而且三角形的內角和大於180度,這些都是地球並非平面的鐵證。因此,二維生物絕對能用自給自足的方式,確定這個世界到底是不是平面。(若想確定它是球面,還需要做進一步的測量與計算。)

●姍姍來遲

外求幾何學的傳統從古希臘一直延續到十八世紀,當時的幾何學早已進步到與微積分結合,亦即所謂的「微分幾何」,可是仍舊沒有人挑戰這個古典觀點。

我們在<誰是受害者>這篇文章中曾經強調,若要研究變來變去的速度,微分是不可或缺的工具。同理,想要研究蜿蜒曲折的幾何形體,解析幾何本身力有未逮,必須和微積分聯手才行。

早期的微分幾何主要以曲線和曲面為研究對象。這些理論都是歐陸數學家發展的,換言之牛頓的祖國交了白卷,而這當然也是「微積分大戰」的貽禍。

由於曲線只有一維,不可能發展出內蘊幾何(你若是一維世界的生物,絕對無法分辨你的世界是直線還是拋物線),所以我們表過就算。至於曲面理論,則猶如兩位大數學家的接力賽,值得好好談一談。

第一棒是瑞士籍的歐拉(Leonhard Euler, 1707-1783),第二棒是德國的高斯(Carl F. Gauss, 1777-1855),相信大家對他們都不陌生。

瑞士法郎上的歐拉像(圖像來源:維基百科)

歐拉用「外求法」研究曲面,花了十多年的時間,於1760年大功告成(一說63年),但遲至1767年才正式發表。

高斯同樣是以「外求法」切入這個領域,但在研究過程中,他逐漸摸索出「內外兼修」的法門,終於發現了微分幾何中第一個內蘊定理,時間是公元1827年。

高斯認為這個發現精采絕倫,因此在以拉丁文寫成的論文中,他忍不住用Egregium來形容這個定理。由於這個有趣的典故,後世數學家索性稱之為「絕妙定理」(Theorema Egregium)。

絕妙定理雖然有點深奧,但大可用如下方式理解:我們已經知道「球面上的二維生物有辦法確定自己生活在球面上」,絕妙定理則將這個結論推廣成「任何曲面上的二維生物都有辦法確定自己生活在曲面上,而且能用不假外求的方法測量出各處的彎曲程度,也就是所謂的曲率」。

這個定理為微分幾何指出一個新方向,可惜的是高斯並未乘勝追擊,因此絕妙定理就是他在這個領域的最高成就了──或許這就是所謂的「一代人只能做一代人的事」。

幸好多年後,嚴格說來是高斯生命中的最後一年,他的愛徒黎曼(Bernhard Riemann, 1826-1866)勇敢地接下第三棒。

 

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