【大宇宙小故事】21 歐幾里得與世界大戰

撰文|葉李華

看到這個題目,想必人人都會一頭霧水,歐幾里得和世界大戰能有什麼關係呢?但如果把完整的題目「非歐幾里得幾何與第一次世界大戰」一字不漏寫出來,你會覺得更清楚,還是更茫然呢?

●從一個選擇題講起

請問「第一次世界大戰」這個名詞,是何時正式出現的?

A.1914年,例如「第一次世界大戰爆發!」

B.1918年,例如「感謝上帝,第一次世界大戰終於結束了!」

C.1939年,例如「第一次世界大戰記憶猶新,第二次世界大戰又開打啦!」

D.以上皆非

根據非正式的統計,圈選B的人似乎最多(俗話說得好,蓋棺論定嘛)。不過很抱歉,C才是正確答案。原因很簡單,在此之前只有那麼一場世界大戰,有必要冠上形容詞嗎?

同理,在「非歐幾里得幾何」出現之前,幾何就是幾何,沒有必要強調它的「姓氏」。或許有人認為「歐氏幾何」這個名詞歷史悠久,但它當初只是用來指稱《(幾何)原本》的內容,而不是為了和「非歐幾何」針鋒相對。

那麼「歐氏幾何」和「非歐幾何」到底有什麼差別?或者用後現代的語言來說,「非歐幾何」究竟是用什麼方法顛覆「歐氏幾何」?讓我們從頭說起吧。

●特別囉嗦的公理

話說歐氏在《原本》中總共用了十個公理(書中稱為五個公設和五個公理,其實不必這麼細分)。這十個公理看起來都很有道理,但其中的第五個(通常稱為平行公設或平行公理)就是欠缺了一點說服力。最直接的原因是其他九個公理個個簡單明瞭(請參考〈歐幾里得故事集〉),唯獨它特別囉嗦,這點誰都能一眼看出來。

雖然後來有人將它改寫為:「在平面上有一條直線,以及線外一點,你剛好能畫出一條通過那個點且平行那條線的直線。」但這個版本顯然還是不夠簡潔。

正因為平行公理太囉嗦,早在十一世紀,就有伊斯蘭世界的數學家懷疑是否能用其他公理把它導出來,也就是企圖將它貶為定理,可是從來沒有人成功。到了十九世紀,終於有數學家開始採用另類思考:若將這個公理稍加修改,會不會產生另一種幾何學?

比方說,如果把「剛好能畫出一條」改成「至少能畫出兩條」,那麼平行公理就變成:「在平面上有一條直線,以及線外一點,你至少能畫出兩條通過那個點且平行那條線的直線。」

你可能會覺得這並不符合直覺,但只要碰到與無限有關的概念,直覺通常都不太可靠。偏偏「平行線」一定會牽涉到無限延伸,因為任何紙張的範圍都是有限的,你只能設法在腦海中想像兩條平行線一路延伸到宇宙的盡頭。

無限延伸會出現什麼問題呢?舉個簡單的例子,鐵軌當然是兩條平行線,否則火車一定會出軌。但若是站在鐵路旁放眼望去,保證你會產生「鐵軌在遠方相交」的錯誤直覺。由此可見,一旦碰到無限大,直覺就不靈光了。

鐵軌在遠方相交?(圖像來源:維基百科)

數學家很早就知道直覺是個既可愛又可怕的東西,必須好好約束,而公理正是約束直覺的有效工具。我們甚至可以說,想要建構嚴密的數學體系,唯有使用公理一途。而利用上述的「平行公理顛覆版」,配合《原本》的其他九個公理,就能得到和歐氏幾何同樣嚴謹的「非歐幾何」。

●非歐幾何創建者

在數學史上,這個榮譽由三位數學家分享:

一、德國的高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)

二、俄國的羅氏(Nikolai Lobachevsky, 1792-1856)

三、匈牙利的鮑氏(János Bolyai, 1802-1860)

非歐幾何創建者:高斯、羅氏、鮑氏(圖像來源:維基百科)

在一般人心目中,這三個人只有高斯比較有名。他和阿基米德以及牛頓並列為史上三大數學家,不過「數學王子」或許是他更有名的封號。

雖然三人分享這個榮譽,他們並沒有任何合作關係,換言之這是數學史上相當罕見的三胞案。相較之下,雙胞案就不稀奇了,解析幾何和微積分都是典型的例子。

在這三個人當中,高斯其實搶先了一大步,但基於種種原因,他將成果放在抽屜裡,一放就是幾十寒暑。直到公元1832年,他讀到鮑氏的論文,才驚覺大事不妙。事實上,羅氏的論文發表得更早,只是高斯不知道而已,幸好這場優先權之爭並未鬧得像「微積分大戰」那麼慘烈。

因此,在這個三胞案中,只有兩件事比較值得一提。

一、「非歐幾何」這個名詞是高斯發明的,羅氏和鮑氏都沒有用過,例如羅氏稱之為「虛幾何」。

二、鮑氏的父親也是數學家,而且和高斯是多年好友。當愛子的理論發展完備後,他將相關論文收入自己的新書中,出版後趕緊寄給高斯一本,希望高斯能為這個新理論背書,好讓兒子光宗耀祖。不料高斯在回信中竟然說:「倘若我讚美貴公子的理論,就等於讚美我自己……因為我在三十至三十五年前……」

●反向的發展

我們在<原本就是原本>這篇文章曾經提到,數學公理是由真實世界的規律簡化而來,不過非歐幾何(至少就發展過程而言)卻似乎是例外。因為上述的「平行公理顛覆版」全然是數學的推理結果,在三位數學家的推理過程中,非歐幾何純粹只是心智的產物。

然而,這是否代表在他們心目中,非歐幾何真的只是「純數學」,與真實世界毫無關係?不對!根據歷史文獻,至少高斯與羅氏抱持相反的看法。換言之,他們都認為(或說希望)這個數學理論能在真實世界找到對應。

至於要如何尋找,則牽涉到如何在真實世界中定義直線。高斯與羅氏不約而同,都認為真實世界的直線當然就是光線。這是極其直觀的想法,因為物理學家早就知道光一定走直線,針孔成像的倒影就是最好的證明。

不過,由於他們活在十九世紀,不可能用雷射光束做實驗,所以各自想到一個間接的辦法。

先說高斯,他曾主持一個龐大的測地計畫,斷斷續續花了三十年時間,仔細丈量漢諾威王國境內的土地。由於這個工作和他的研究領域(數學、物理、天文)多少有些落差,使得許多朋友感到不解,甚至有人替他覺得不值。

事實上,在高斯感興趣的數學主題中,至少有兩項和這個測地任務息息相關,那就是非歐幾何與曲面理論。

例如高斯曾經率人測量三座山峰所構成的三角形,希望能夠得到「內角和不等於180度」的結果,因為他早就推論出這是非歐幾何的特點之一(正如在歐氏幾何中,三角形的內角和一定剛好等於180度)。

那三座山相隔甚遠(兩兩距離約為107, 85, 69公里),不可能用皮尺或繩子當測量工具,必須以望遠鏡等儀器進行間接測量,這就等同於在三座山之間用光線畫出一個大三角形(因為望遠鏡看出的視線就是光的行進路線)。

就現代觀點而言,高斯的想法完全正確,可惜那個大三角形還是太小,讓他得到「幾乎180度」的結果,因而無法判斷地球附近的空間是否屬於非歐幾何。

相較之下,羅氏的三角形可就大得多了,因為他用的是天文測量數據──請想像一個狹長的等腰三角形,它的「底」是地球繞日的直徑,遠方的頂點則是天狼星。但是由於測量誤差的緣故,羅氏同樣沒有得到任何肯定的結論。

●領先了時代

不論高斯或羅氏是否白忙一場,他們的理念其實並沒有錯。近一個世紀後,愛因斯坦的廣義相對論正是朝這個方向邁進,最後證明了非歐幾何在自然界確實擁有一席之地。

由於「廣義相對論中的非歐幾何」是個大題目,必須另闢專章討論,在此僅列出幾個重要的時間點。

  1914年7月:第一次世界大戰爆發

  1915年11月:愛因斯坦發表廣義相對論

  1918年11月:第一次世界大戰結束

  1919年5月:廣義相對論首度獲得天文觀測證據

第一次世界大戰之前,非歐幾何只能算是純數學。

第一次世界大戰之後,非歐幾何已經是物理學家的工具。

第一次世界大戰成了重要的分水嶺。

這就是「非歐幾何與第一次世界大戰」之間的關係!

 

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