【大宇宙小故事】11 平行線的神話

撰文|葉李華

公元前六世紀,東西方各誕生了一位傳奇人物,兩人的生平有如相隔五千公里的平行線。在時間的方向,這兩條平行線延伸七、八十年,起點與終點都相當接近。

除此之外,他們還有許多類似之處:

都是「宗教」領袖,都有眾多弟子追隨。

都有頗具神秘色彩的傳說。

都相信輪迴轉世,也都(因而)提倡素食。

對宇宙與人生都有一套完整的學說。

在離世後影響力都有增無減,持續至今。

以兩人的名義傳世的學說,大多跟他們沒有直接關係。

他們的全名,分別是「悉達多‧喬達摩」與「薩摩斯的畢達哥拉斯」。

如果你對這兩個名字感到陌生,或許是因為通常我們稱前者為釋迦牟尼,後者為畢氏──萬一你對畢氏也沒什麼印象,至少該記得「畢氏定理」吧。

●喔,原來是那個畢氏

需要複習一下畢氏定理嗎?如果不必,就讓我們繼續談下去。

如果你和大多數人一樣,以為畢氏定理當然是畢氏發現的,那麼從現在起,請在心中對這個說法打一個大問號!

因為至今為止,沒有任何證據顯示畢氏研究過這個定理。原因很簡單,剛才已經說過:以他的名義傳世的學說,大多跟他本人沒有直接關係。

或許你會追問,據說畢氏是古希臘著名的數學家,大概只有歐幾里得與阿基米德能跟他相提並論,所以即便畢氏定理與他無關,他還是有不少數學成就吧?

隨便查查數學史,很容易找到這類的佐證。比方說,很多文獻都記載著畢氏極度熱愛整數(嚴格說是正整數,以下皆同),因此對「數論」這門數學貢獻頗多。然而這樣的說法越來越受質疑,因為那些成就很可能也是他的徒子徒孫所追贈的。

總而言之,在可靠的史料中,誰也沒找到過畢氏從事數學研究的紀錄。所以就連畢氏是數學家這個說法,我們也必須半信半疑。但是退一萬步來講,若說他是一位優秀的數學教師,那就不會有人反對了。

●比較神話學

至於畢氏的其他傳說,又有哪些是可信的呢?比方說,他真是阿波羅的兒子嗎?他身旁真有光暈環繞嗎?他真的在狗兒身上看到過亡友的靈魂嗎?

其實這是不必回答的問題。正如根據傳說,釋迦牟尼出生之後,不但立刻就會走路,還能宣示「天上天下,唯我獨尊」。從理性而非宗教的角度,你願意相信這些神蹟嗎?

另一方面,如果摘去宗教的面紗,釋迦牟尼仍有許多可信的事蹟,包括他修道、悟道、傳道,以及組織僧團的過程,乃至於以八十高齡圓寂,件件皆是有史可考。

同理,我們大致能夠確定畢氏早年曾四處遊學,中年定居於義大利半島的克羅頓,在那裡組織了一個相當神秘的團體。這個團體介於秘密結社與神秘教派之間,所以一切對外保密,外人無法一窺堂奧。而畢氏在講學時,則一向是口耳相傳不立文字,更不編寫任何「講義」,正因為如此,他本人並沒有任何著作傳世。

剛才說過,畢氏在世時是一位「宗教」領袖──之所以加引號,是因為通常在文獻中,畢氏的學說被稱為「畢氏主義」,他所領導的團體則被稱為「畢氏學派」,因而宗教色彩比較不明顯。

19世紀的想像畫:畢氏率領徒眾迎接日出(圖像來源:維基百科)

無獨有偶,釋迦牟尼生前所宣揚的教義,也和一般的宗教大異其趣。最明顯的證據就是「神」在正統佛教中根本不存在,而「佛」也只是悟道者的尊稱罷了。

然而,隨著佛教的發展與茁壯,釋迦牟尼「佛」的地位越來越高,最後居然和法力無邊的阿彌陀佛及彌勒佛平起平坐。與此同時,這類純屬虛構的諸天神佛則越來越多,而這正是大乘佛教有別於原始佛教之處。

話又說回來,雖然大乘佛教是後人的發明,跟釋迦牟尼沒有直接關係,然而就世界文化史而言,大乘佛教的教義與經典仍是人類文化的瑰寶,在哲學層次上不但超越原始佛教,甚至凌駕於南傳佛教(亦即俗稱的小乘佛教)之上。

●畢氏學派的學術遺產

類似的情況也曾發生於古希臘。畢氏學派所留下的文化遺產,經由亞里斯多德等人的整理爬梳,從中凝鍊出幾門褪盡神秘色彩的科學,包括幾何學(最有名的就是「畢氏定理」)、算術學(主要是關於整數的規律)、天文學(有可能是「地圓說」的發源地)以及音律學(「和諧音程」的相關理論是其代表作)。

由於畢氏學派對整數有著盲目的信仰與崇拜,因此在上述幾門科學中,處處可見整數的身影。例如根據畢氏定理,任何直角三角形的邊長都滿足a2+b2=c2這個關係,但是畢氏學派特別青睞(a, b, c)皆為整數的情形,例如(3, 4, 5), (5, 12, 13)等。甚至在音律學中,他們也獨具慧眼,使用整數來創造所有的音程(即後世所謂的「畢氏音程」)。更有趣的是,這些學者甚至將這套和諧理論用於天文學,試圖解釋地心宇宙的結構。

另一方面,畢氏學派的非理性部分則被另一批人發揚光大。例如「整數足以解釋萬事萬物」這個信仰,就發展成了最早的「數秘學」(Numerology)。

「數秘學」並不能和「數字迷信」畫上等號,後者只是單純地相信某些數目關乎吉凶,而數秘學則有一套繁複的理論與公式,很容易令人肅然起敬。事實上,數秘學和占星學一樣,都是披著科學外衣的玄學,也就是俗稱的偽科學。(請想想,中文姓名學的筆劃計算公式算不算「數秘學」?)

就正偽觀點而言,「數秘學」與「數論」的關係正如「占星學」與「天文學」的關係。不同的是,前者在古希臘時代便已分道揚鑣,後者直到十七世紀還糾纏不清,例如鼎鼎大名的克卜勒就兼有「天文學家」與「占星學家」的雙重身份。

15世紀的想像畫:畢氏進行音程研究
(圖像來源:IMSLP/Petrucci Music Library)

●值得一提的傳說

雖然本文一再強調,關於畢氏的生平,可信的史料少之又少。但有些傳說即便並非史實,也是頗具啟發性和教育意義的「科學故事」。正如《伊索寓言》即便絕非真人真事,也是頗具啟發性和教育意義的「道德故事」。

關於「畢氏音程」的傳說就是很好的例子。話說畢氏某天經過一間打鐵舖,聽到打鐵聲竟然相當悅耳,便好奇心大發,當場做起研究。由於他聰明絕頂,很快發現了其中的奧秘。原來四名鐵匠所用的鎚子,重量分別是6, 8, 9, 12(斤)──簡單整數比!於是他趕緊衝回家,改用琴弦來做實驗,很快就歸納出類似的規律:只要兩條琴弦的長度成簡單整數比,例如4:3, 3:2, 2:1,發出的聲音就會和諧悅耳。用現代術語來說,這三組音程分別是完全四度(相差5個半音)、完全五度(相差7個半音)以及完全八度(相差12個半音)。

另一個傳說則相當悲慘,好在真的只是傳說而已。話說由於畢氏堅信整數威力無窮,因此當某位弟子在「畢氏定理」中發現一個整數無法描述的現象,畢氏無法接受這個邪惡的事實,索性下令把他丟到大海淹死了。

那位倒楣的弟子到底發現了什麼,竟然無端惹來殺身之禍?在揭曉謎底之前,我們要先做點準備工作。

畢氏認為整數能夠解釋一切、代表一切,這個「一切」當然包括所有的分數,例如2/3雖然不是整數,卻是兩個整數相除的結果。畢氏(學派)認為一旦如此擴大解釋,就能把天地間所有的數包括在內。換成幾何的說法,就是任何線段的長度都能用整數或分數來表示。

不料,那位弟子居然發現在「等腰直角三角形」的三個邊長中,至少有一個既不是整數也不是分數。比方說,如果兩腰的長度是1,那麼斜邊就是√2=1.41421…,當然不能表示為整數除以整數。所以對於現代讀者來說,這樣的謎底恐怕有點反高潮。

因此之故,這個故事最好稍加改寫,比方說加上一個結尾:處死那位弟子之後,畢氏冷靜下來,感到後悔不已,為了提醒自己別再失去理智,遂將√2命名為無理數。

這個結尾純屬虛構,請大家千萬別相信!至於「無理數」到底是怎麼來的,那就是另一個故事了。

 

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