【CASE專欄 * columnists】

絕妙定理雖然有點深奧，但大可用如下方式理解：我們已經知道「球面上的二維生物有辦法確定自己生活在球面上」，絕妙定理則將這個結論推廣成「任何曲面上的二維生物都有辦法確定自己生活在曲面上，而且能用不假外求的方法測量出各處的彎曲程度，也就是所謂的曲率」。

高斯曾主持一個龐大的測地計畫，斷斷續續花了三十年時間，仔細丈量漢諾威王國境內的土地。由於這個工作和他的研究領域(數學、物理、天文)多少有些落差，使得許多朋友感到不解，甚至有人替他覺得不值。
事實上，在高斯感興趣的數學主題中，至少有兩項和這個測地任務息息相關，那就是非歐幾何與曲面理論。

牛頓所用的符號和數學工具略遜於萊布尼茲，但英國數學家為了表態效忠祖國，在整個十八世紀都避免使用萊布尼茲的符號和工具(還有一個原因，就是牛頓的學術威權在英國形成「白色恐怖」)。數學史研究者一致認為，凡是與微積分相關的學問，英國在這段時期都大大落後歐陸。等到他們驚覺事態嚴重，一個世紀已經白白浪費了。

如果你將笛卡兒的《幾何學》從頭到尾翻閱一遍，會覺得作者忠實繼承了古希臘的傳統，並未探討解析幾何的任何應用。
千萬別以為笛卡兒真的效法古希臘學者，純粹是為研究而研究，為發明而發明。我們剛才已經提到，笛卡兒的動機與目的非常明確──用以示範《談方法》是多麼強而有力的工具；唯有使用這門內功心法，才能發展出讓幾何與代數水乳交融的解析幾何。

哥倫布（Christopher Columbus）在一封寫給他的贊助者，談到他第一次航行到新世界遇見原住民時的信中這麼寫著：「原住民既不知宗教，也不知崇拜，他們只相信所有力量和美好的事物都來自天上…。」哥倫布指的是當地原住民的信仰，他們認為哥倫布、他的伙伴以及船隻都來自地球以外的某個地方。500 多年後，我們已成為新世界的航行者，經由太陽系，進入更遙遠的外太空。

克卜勒在十七世紀初，根據大量的觀測數據，大膽推測行星軌道都是橢圓(亦即所謂的克卜勒第一定律)。七十多年後，當牛頓撰寫《自然哲學的數學原理》時，發現阿氏(Apollonius)早就為他準備好了幾何工具。換句話說，牛頓是站在阿氏肩上證明出下列事實：太陽系的天體軌道一定是圓錐曲線；橢圓軌道對應於行星和週期彗星，拋物線和雙曲線則對應非週期彗星。

一眼就能看出來，羅馬算盤的「位數」非常明顯，這是它和羅馬數字最大的不同，也正是它便於計算的主因。
令人難以置信的是，羅馬人一直把這種算盤當成實體的計算工具，從未想到把它轉移到書面上。因此羅馬工程師在做計算時，會先根據羅馬數字撥弄算珠(等於轉換成「位數制」)，最後再把計算結果(在心中做一次反轉換)用羅馬數字寫在羊皮紙上。

總而言之，請千萬別懷疑阿基米德在數學史上的頂尖地位──不但是古代最偉大的數學家，還是古往今來三大數學家之一。巧合的是，在世界軍事史上，本文的另一位主角也享有類似的地位，可見史家並不以成敗論英雄。不過，倘若漢尼拔拚了老命解救阿基米德，讓老科學家能繼續發揮餘熱，想必後人會更加敬佩他。

阿基米德這個名字非常響亮，所以你很容易從網路上查到他是古希臘的數學家、物理學家、天文學家、發明家、工程師，而且還是有史以來最偉大的三位數學家之一。
不過，有一件事情，你大概不容易查到，那就是連足球都是阿基米德發明的。
看到這裡，一定有人會說：不對吧！別急，我說的不是足球這種運動，而是足球的形狀是阿基米德發明的。

法拉第在一封給《哲學雜誌》（Philosophical Journal）編輯菲利浦（Richard Phillips）的信中說明冰桶實驗結果，菲利浦於隔年 1844 年 3 月將此信在雜誌中刊登出來。時至今日，這個實驗仍會為了示範目的而以各種方式操作，只是通常會用中空的金屬球取代冰桶，用現代的靜電計取代驗電器。

很早以前就有人指出「有理數」和「無理數」是錯誤的翻譯──嚴格說來是日本學者犯的錯，而我們只是將錯就錯。因為根據定義，能夠寫成「整數除以整數」的實數稱為有理數(例如2/3或-3/2)，不能這麼寫的則是無理數(例如圓周率或二的平方根)。因此之故，這兩個數學名詞的正確翻譯應該是「比例數」和「非比例數」。

話說公元前四世紀，亞歷山大大帝猝逝之後，他的帝國分裂成四大部分，其中位於埃及的托勒密王國就是歐幾里得的故鄉。歐幾里得和這個王國大約同時誕生，一生最重要的成就便是編寫《原本》這本書。傳說中，托勒密王國的開國君主曾請教他學習幾何的捷徑，歐幾里得的經典回答是：「幾何，無君王之路。」