【大宇宙小故事】24 後繼有人

博士生時代的黎曼(圖像來源:維基百科)

撰文|葉李華

高斯笑了!

高斯很久沒有這樣笑了,尤其是在晚年,他的個性越來越古怪,笑容也就越來越少。

這天他卻笑得很開懷,因為他聽了一場精采的演說,確定自己後繼有人。

時間是公元1854年6月10日(距離高斯辭世只有八個月多),地點是哥廷根大學數學系。講者是高斯的得意門生黎曼(1826-1866),三年前,他在高斯指導下完成了博士論文。

今天的演說和博士學位無關,而是黎曼希望成為高斯的同事。為了證明自己勝任這份教職,他必須依照慣例,做一場有專業水準的公開演說。

半年前,黎曼提交了三個題目請恩師勾選。不知是不是故意的,這三個題目的難易程度有著明顯的差別。

第一個題目和黎曼的博士論文有些關聯,沒有太大的挑戰性;第二個題目是關於二元二次方程式,當然更不值得一提;第三個題目<論幾何學基礎之相關假說>則讓高斯眼睛為之一亮。

可想而知,第三個題目脫穎而出,而黎曼的表現甚至超出了高斯的預期。

●十九世紀的愛因斯坦

在數學史上,這場演說具有承先啟後的重要地位。它為微分幾何學指出一個明確的新方向──以N維流形為研究對象的黎曼(微分)幾何。

弔詭的是,這篇遲至1868年才正式發表的講稿,可以說是出了名的難懂。

原因之一,為了顧及聽眾中還有其他領域的學者,黎曼無法以數學家的語言暢所欲言。

(但這絕不代表數學不好的人也能看懂這篇講稿。)

原因之二,由於演說時間有限,黎曼將內容盡量濃縮,幾乎到了濃得化不開的程度。

(如果他詳細闡述,至少能再寫出一篇博士論文。)

原因之三,這個主題和非歐幾何關係密切,黎曼卻採取明哲保身的態度,從頭到尾欲言又止。後世學者只能從字裡行間推敲他的原創性倡議──以微分幾何作為研究非歐幾何的利器。

(不久之後,果然有數學家響應這個號召,而且成果豐碩。)

原因之四,這篇講稿有四分之一的內容與物理學有關,更明確地說,是在探討(微分)幾何和物理的密切關係。

(因此有學者認為,若非黎曼英年早逝,廣義相對論很可能提早五十年誕生。)

●二十世紀的黎曼

幸好有愛因斯坦,在二十世紀初繼承了黎曼的未竟之志。

其實就學術傳承而言,愛因斯坦並未直接受到黎曼或高斯的影響。在發展廣義相對論的過程中,愛氏赫然發現相關的數學工具(微分幾何與張量分析)早已由三位數學家(Bianchi, Ricci, Levi-Civita)為他準備好了。

那三位數學家都是義大利人,這點並非巧合,而是因為黎曼和義大利有深厚的淵源(他曾數度造訪這個國家,傳播他的微分幾何福音)。因此,愛因斯坦可以說是間接受到黎曼的影響,正如同廣義相對論是以間接的方式(經由微分幾何)引進非歐幾何。

如上所述,黎曼在1854年那場演說中對非歐幾何欲言又止,但後世學者從字裡行間讀到一項真知灼見:不同的彎曲空間很可能藏有不同的非歐幾何。由於彎曲的空間和時間是廣義相對論的中心思想,由此可知在這個理論中少不了非歐幾何的身影。

廣義相對論所探討的彎曲空間通常很複雜,例如黑洞或蛀孔,然而「宇宙的三維結構」卻是例外。這並非物極必反,而是當我們在研究宇宙結構的時候,通常只關心大略的形狀,不會斤斤計較細節。正如同地球表面有高有低,還有一點啤酒肚,但在許多實際問題中,我們還是能將它視為完美的球形,不會有太大誤差。

●宇宙是什麼形狀

答案只有三種可能,其中之一是三維的歐氏空間,另外兩種則是非歐空間。而在這三種可能中,只有第一種容易想像,因為歐氏幾何正是根據人類的直覺發展出來的。另外兩種非歐空間就比較難懂,所以我們最好從頭說起。

在上述那場演說中,黎曼用言外之意的隱晦方式指出:高斯等人所發展的(二維)非歐幾何──如今所謂的雙曲幾何,其特點是平行線超過一條──或許能用一種特殊的曲面來實現。至於另一種(二維)非歐幾何──如今所謂的橢圓幾何──則對應於歷史悠久的球面幾何(請參考<同名同姓又同源>)。

就微分幾何而言,球面就是「彎曲傾向處處相同」的曲面,正式的說法則是「球面的曲率是一個正的常數」。因此黎曼(又藉著言外之意)指出,若能找到「曲率為負常數」的曲面,應該就能具體實現另一種非歐幾何──雙曲幾何。

擬球面的一部分(圖像來源:維基百科)
說明:完整的擬球面應向左右無限延伸

可惜黎曼自己一直沒機會鑽研這個問題,直到他去世後,才由深受他影響的義大利數學家貝氏(Eugenio Beltrami, 1835-1900)找出雙曲幾何的第一個具體模型,並命名為「擬球面」。

不過,「擬球面」的形狀太過古怪,因此在比較通俗的文獻中,通常都用(曲率為負但不是常數的)馬鞍面來代替。久而久之,馬鞍面便成了雙曲非歐幾何的「識別標誌」。

最後再強調一點,大家都知道二維歐氏幾何能直接推廣到三維,事實上,兩種二維非歐幾何也可以這麼推廣。但由於我們活在三維空間中,所以不可能畫出具體的圖像。

●回到原點?

總而言之,宇宙的大致形狀只有三種可能:

一、如果宇宙是三維歐氏空間(曲率為零),那就完全符合人類的直覺,無須多做任何說明。

二、如果宇宙是符合雙曲幾何的三維空間(具有負曲率),那麼正如馬鞍面可視為「有起伏的平面」,宇宙的形狀就是「有起伏的三維歐氏空間」。我們自己生活在這個空間中,無法藉由更高的維度看到那些起伏,但至少能遵循當年高斯和羅氏的想法,根據光線的路徑來確定這一點(請參考<歐幾里得與世界大戰>)。

三、相較之下,符合橢圓幾何(具有正曲率)的三維空間最難想像,因為它和球面一樣,是一種「有限卻無邊界」的幾何形體。

還好我們能用球面來類比一番,比方說,如果你是球面世界的二維生物,站在北極朝四面八方極目眺望,那麼只要你視力夠好,你的「視野」就會以赤道為分水嶺,從逐漸擴大變成逐漸縮小,最後甚至會縮成一個點,也就是那個球面的南極,亦即距離北極最遠的地方。

然後,如果你讓視線繼續延伸,就一定有機會看到自己的後腦勺。(球面世界是二維空間,其中的光線跑不出去,所以只能沿著球面繞圈圈,最後回到原點。)

只要將這個例子加高一維,我們便能得到如下推論:你站在地球上,朝著上下四方極目眺望,只要你視力夠好,你的視野就會以「太空中某個球面」為分水嶺,從逐漸擴大變成逐漸縮小,最後甚至會縮成一個點,該點就是宇宙中距離地球最遠的位置。

三種可能宇宙形狀的示意圖:(上)三維橢圓非歐空間;(中)三維雙曲非歐空間;(下)三維歐氏空間(圖像來源:維基百科) 說明:其中Ω0代表歸一化的宇宙密度,因此「三維歐氏空間」對應於這個密度恰好等於一(同樣是機率趨近於零)。

然後,如果你讓視線繼續延伸,就一定有機會看到自己的後腦。不過根據廣義相對論,你要一直等到地老天荒。

看到這裡,想必大家急著想知道宇宙到底是哪一種形狀。但是建議大家先想想,這三個答案哪個最不可能?

就機率而言,最不可能的當然是歐氏空間。正如同根據正負號將實數分成三大類,其中最不可能被抽中的當然是「零」這一類。

可是信不信由你,根據目前最新的觀測結果,歐氏空間竟然是呼聲極高的候選者。甚至早已有科學家從理論出發,試圖對「歐氏宇宙」做出合理的解釋。

至於真相如何,且讓我們拭目以待。然而,如果歐氏宇宙真的脫穎而出,黎曼與愛因斯坦也絕非走了一大圈又回到原點。

 

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