【大宇宙小故事】21 歐幾里得與世界大戰

撰文｜葉李華

看到這個題目，想必人人都會一頭霧水，歐幾里得和世界大戰能有什麼關係呢？但如果把完整的題目「非歐幾里得幾何與第一次世界大戰」一字不漏寫出來，你會覺得更清楚，還是更茫然呢？

●從一個選擇題講起

請問「第一次世界大戰」這個名詞，是何時正式出現的？

A.1914年，例如「第一次世界大戰爆發！」

B.1918年，例如「感謝上帝，第一次世界大戰終於結束了！」

C.1939年，例如「第一次世界大戰記憶猶新，第二次世界大戰又開打啦！」

D.以上皆非

根據非正式的統計，圈選B的人似乎最多(俗話說得好，蓋棺論定嘛)。不過很抱歉，C才是正確答案。原因很簡單，在此之前只有那麼一場世界大戰，有必要冠上形容詞嗎？

同理，在「非歐幾里得幾何」出現之前，幾何就是幾何，沒有必要強調它的「姓氏」。或許有人認為「歐氏幾何」這個名詞歷史悠久，但它當初只是用來指稱《(幾何)原本》的內容，而不是為了和「非歐幾何」針鋒相對。

那麼「歐氏幾何」和「非歐幾何」到底有什麼差別？或者用後現代的語言來說，「非歐幾何」究竟是用什麼方法顛覆「歐氏幾何」？讓我們從頭說起吧。

●特別囉嗦的公理

話說歐氏在《原本》中總共用了十個公理(書中稱為五個公設和五個公理，其實不必這麼細分)。這十個公理看起來都很有道理，但其中的第五個(通常稱為平行公設或平行公理)就是欠缺了一點說服力。最直接的原因是其他九個公理個個簡單明瞭(請參考〈歐幾里得故事集〉)，唯獨它特別囉嗦，這點誰都能一眼看出來。

雖然後來有人將它改寫為：「在平面上有一條直線，以及線外一點，你剛好能畫出一條通過那個點且平行那條線的直線。」但這個版本顯然還是不夠簡潔。

正因為平行公理太囉嗦，早在十一世紀，就有伊斯蘭世界的數學家懷疑是否能用其他公理把它導出來，也就是企圖將它貶為定理，可是從來沒有人成功。到了十九世紀，終於有數學家開始採用另類思考：若將這個公理稍加修改，會不會產生另一種幾何學？

比方說，如果把「剛好能畫出一條」改成「至少能畫出兩條」，那麼平行公理就變成：「在平面上有一條直線，以及線外一點，你至少能畫出兩條通過那個點且平行那條線的直線。」

你可能會覺得這並不符合直覺，但只要碰到與無限有關的概念，直覺通常都不太可靠。偏偏「平行線」一定會牽涉到無限延伸，因為任何紙張的範圍都是有限的，你只能設法在腦海中想像兩條平行線一路延伸到宇宙的盡頭。

無限延伸會出現什麼問題呢？舉個簡單的例子，鐵軌當然是兩條平行線，否則火車一定會出軌。但若是站在鐵路旁放眼望去，保證你會產生「鐵軌在遠方相交」的錯誤直覺。由此可見，一旦碰到無限大，直覺就不靈光了。

數學家很早就知道直覺是個既可愛又可怕的東西，必須好好約束，而公理正是約束直覺的有效工具。我們甚至可以說，想要建構嚴密的數學體系，唯有使用公理一途。而利用上述的「平行公理顛覆版」，配合《原本》的其他九個公理，就能得到和歐氏幾何同樣嚴謹的「非歐幾何」。

●非歐幾何創建者

在數學史上，這個榮譽由三位數學家分享：

一、德國的高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)

二、俄國的羅氏(Nikolai Lobachevsky, 1792-1856)

三、匈牙利的鮑氏(János Bolyai, 1802-1860)

在一般人心目中，這三個人只有高斯比較有名。他和阿基米德以及牛頓並列為史上三大數學家，不過「數學王子」或許是他更有名的封號。

雖然三人分享這個榮譽，他們並沒有任何合作關係，換言之這是數學史上相當罕見的三胞案。相較之下，雙胞案就不稀奇了，解析幾何和微積分都是典型的例子。

在這三個人當中，高斯其實搶先了一大步，但基於種種原因，他將成果放在抽屜裡，一放就是幾十寒暑。直到公元1832年，他讀到鮑氏的論文，才驚覺大事不妙。事實上，羅氏的論文發表得更早，只是高斯不知道而已，幸好這場優先權之爭並未鬧得像「微積分大戰」那麼慘烈。

因此，在這個三胞案中，只有兩件事比較值得一提。

一、「非歐幾何」這個名詞是高斯發明的，羅氏和鮑氏都沒有用過，例如羅氏稱之為「虛幾何」。

二、鮑氏的父親也是數學家，而且和高斯是多年好友。當愛子的理論發展完備後，他將相關論文收入自己的新書中，出版後趕緊寄給高斯一本，希望高斯能為這個新理論背書，好讓兒子光宗耀祖。不料高斯在回信中竟然說：「倘若我讚美貴公子的理論，就等於讚美我自己……因為我在三十至三十五年前……」

●反向的發展

我們在＜原本就是原本＞這篇文章曾經提到，數學公理是由真實世界的規律簡化而來，不過非歐幾何(至少就發展過程而言)卻似乎是例外。因為上述的「平行公理顛覆版」全然是數學的推理結果，在三位數學家的推理過程中，非歐幾何純粹只是心智的產物。

然而，這是否代表在他們心目中，非歐幾何真的只是「純數學」，與真實世界毫無關係？不對！根據歷史文獻，至少高斯與羅氏抱持相反的看法。換言之，他們都認為(或說希望)這個數學理論能在真實世界找到對應。

至於要如何尋找，則牽涉到如何在真實世界中定義直線。高斯與羅氏不約而同，都認為真實世界的直線當然就是光線。這是極其直觀的想法，因為物理學家早就知道光一定走直線，針孔成像的倒影就是最好的證明。

不過，由於他們活在十九世紀，不可能用雷射光束做實驗，所以各自想到一個間接的辦法。

先說高斯，他曾主持一個龐大的測地計畫，斷斷續續花了三十年時間，仔細丈量漢諾威王國境內的土地。由於這個工作和他的研究領域(數學、物理、天文)多少有些落差，使得許多朋友感到不解，甚至有人替他覺得不值。

事實上，在高斯感興趣的數學主題中，至少有兩項和這個測地任務息息相關，那就是非歐幾何與曲面理論。

例如高斯曾經率人測量三座山峰所構成的三角形，希望能夠得到「內角和不等於180度」的結果，因為他早就推論出這是非歐幾何的特點之一(正如在歐氏幾何中，三角形的內角和一定剛好等於180度)。

那三座山相隔甚遠(兩兩距離約為107, 85, 69公里)，不可能用皮尺或繩子當測量工具，必須以望遠鏡等儀器進行間接測量，這就等同於在三座山之間用光線畫出一個大三角形(因為望遠鏡看出的視線就是光的行進路線)。

就現代觀點而言，高斯的想法完全正確，可惜那個大三角形還是太小，讓他得到「幾乎180度」的結果，因而無法判斷地球附近的空間是否屬於非歐幾何。

相較之下，羅氏的三角形可就大得多了，因為他用的是天文測量數據──請想像一個狹長的等腰三角形，它的「底」是地球繞日的直徑，遠方的頂點則是天狼星。但是由於測量誤差的緣故，羅氏同樣沒有得到任何肯定的結論。

●領先了時代

不論高斯或羅氏是否白忙一場，他們的理念其實並沒有錯。近一個世紀後，愛因斯坦的廣義相對論正是朝這個方向邁進，最後證明了非歐幾何在自然界確實擁有一席之地。

由於「廣義相對論中的非歐幾何」是個大題目，必須另闢專章討論，在此僅列出幾個重要的時間點。

　　1914年7月：第一次世界大戰爆發

　　1915年11月：愛因斯坦發表廣義相對論

　　1918年11月：第一次世界大戰結束

　　1919年5月：廣義相對論首度獲得天文觀測證據

第一次世界大戰之前，非歐幾何只能算是純數學。

第一次世界大戰之後，非歐幾何已經是物理學家的工具。

第一次世界大戰成了重要的分水嶺。

這就是「非歐幾何與第一次世界大戰」之間的關係！