用磁性模型解決生活難題

生活中我們常面臨一些難以選擇的問題，例如，去旅行想造訪的城市過多，路程與停留時間不易安排。排課或排班總是擠在某幾天，一回到家整個人都累爆了。出門旅遊明明按照導航行駛，為什麼還是花很久的時間在開車?這些生活難題都與求解最佳化問題有關。雖然近代電腦的運算速度越來越快，但符合問題的答案太多，在有限時間內，最多僅能找到局部的最佳解，無法找到問題真正的最優解答。若想求解這類問題，可以利用百年前物理學家發明的磁型模型，將問題轉化為選擇問題，再透過量子退火電腦就能馬上迎刃而解。

撰文｜穿山甲

水在不同溫度和壓力下，會在固態、液態和氣態之間發生相變化。金屬也會因為外部參數改變，相變至其它狀態，相變會導致金屬的硬度或密度發生變化。無獨有偶，磁性材料的磁性也會因為外在因素改變磁特性。一般的相變通常涉及原子或分子的重新排列，磁性的相變則是會影響到晶格上的自旋組態。最常見的例子就是磁鐵溫度升高，磁力就會開始減弱，超過居里溫度磁力就會消失。這是因為在室溫下磁鐵呈現鐵磁性，晶格上的自旋喜歡朝同一方向排列，整體的磁力自然就會變大。當溫度漸漸升高，自旋受熱擾動影響也會越大，自旋時而向上時而向下，使磁力開始減弱。溫度超過居里溫度後，磁鐵就會相變為順磁性，自旋無序地朝各種方向偏轉，磁力因而消失。這就是為什麼馬達不能過熱，過熱時馬達中的磁鐵磁力會減弱，讓扭矩的力量變弱甚至無法作動。

自旋組態 磁性相變

為了探索磁性的相變化過程，物理學家威廉·楞次想出了一個簡單近似的模型，如圖1，並將求解該問題的任務交給彼時攻讀博士的恩斯特·易辛當作論文課題。這個模型被稱之為易辛模型(Ising Model)，如下列方程式所示。

其中H表示系統的總能量，J_ij為兩個自旋間的交互作用參數，s_i、s_j表示自旋的方向，只能為+1或是­1，代表自旋朝上或朝下，µ是晶格點中的磁矩，h_i為外加磁場。式中第一項表示兩個自旋間會相互影響，第二項表示外在磁場對自旋的影響。易辛也在1924年解出一維易辛模型的解析解，並證明在一維的自旋排列下，磁性材料不會產生相變化，而二維易辛模型的解析解，則於1944年由拉斯·昂薩格解出並證實二維下會發生相變。

磁性啟發 求最佳解

雖然易辛模型是在求解磁性自旋組態的相變過程，但其本質上是找到各種溫度下自旋怎麼排列，系統的總能量可以達到最低。這種想法恰好可以應用到複雜的日常問題，像是安排貨運的送貨路線、規劃排班表，甚至投資組合上，求解各種最佳化問題，找出讓總成本、總時間或總損失最低的選項。

舉例來說，想像你是一位物流經理，要安排十輛卡車，從倉庫出發，繞過幾十個地點，把包裹送達顧客手中。你希望達成的目標是什麼？當然是期望總里程最短、時間最少、成本最低，這就是一個典型的最佳化問題。最直接的方式就是把所有的可能性都列出，進行比較並選出最優方案。然而，送貨的路線錯綜複雜、地點又多，眾多可能性加總起來數據過於龐大。這個情形可以透過易辛模型將問題簡化，例如，可以將J_ij表示各城市間的距離，s_i表示送貨員在某個時間送某個城市，有送則為+1，沒有送則­1。易辛模型第二項的h_i可以用來選擇偏好或控管成本，例如，優先拜訪VIP客戶或避開某個交通的尖峰時間。隨後即可嘗試找出s_i成為怎麼樣的排列順序(如，+1­1­1+1+1+1­1…)對整體的系統能量最低，也就是怎麼安排是最佳選擇。

量子退火 高效求解

要求得易辛模型的最佳解，如同在一座座高山地形中找出最低的山谷，這座能量地形圖可能有數百萬個峰谷，正如上述所說想要遍歷所有地形幾乎不可能。這個時候可以利用自然的退火過程找尋最低點。我們知道如果將物質升溫再緩慢冷卻，原子重新排列的過程能消除晶格缺陷，釋放內部應力，使材料達到最穩定能量更低的狀態

在數學模擬中，這個想法被藉以發展模擬退火，先隨機更動變數，允許偶爾接受變差的選擇，這樣可以跳過局部最小值，隨著時間推移降低接受差解的機率，最終穩定落在某個能量谷底。但這終究是類物理的方式，速度仍然有限。直到量子電腦登場，可以透過量子疊加讓所有可能的解同時存在，也就是易辛模型中所有的s_i可以同時是+1或­1，然後透過量子物理規律自然演化成為最低能量解，如圖2。加拿大公司的D-Wave系統是目前最知名的量子退火電腦，它以超導電路打造出幾千個量子比特，這些量子比特之間的連接與互動，實際上就是一個可以調控的易辛模型硬體版本。對於解最佳化問題這台量子電腦比傳統電腦快出好幾個數量級。

易辛模型的核心是把一個複雜問題轉化為選或不選的組合決策問題，再定義好成本或收益，最後找出總能量最低的那種組合，改變易辛模型的正負號也可以反向求得最高解。這樣的架構其實和很多實際問題的結構非常接近。例如，規劃需要輪班的排班表，可以依照時間與人員數量去做選取，適度且合理的安排人員的工時。在投資理財規劃上，多種股票要怎麼選擇，才能得到最較高的報酬，但承受的風險最低。這個方法亦能加速新藥或新材料開發。目前我們正處於一個新的運算時代的門檻，以量子運算為代表的新方法正逐漸興起。易辛這個近百年前的物理模型，卻能成為這個時代的關鍵應用工具。

參考文獻

1. Volpe et al., “Improving the solving of optimization problems: A comprehensive review of quantum approaches,” Quantum Reports, vol. 7, p. 3, 2025.
2. Rajak et al., “Quantum annealing: An overview,” Philosophical Transactions of the Royal Society A, vol. 381, p. 20210417, 2023.
3. Yarkoni et al., “Quantum annealing for industry applications: Introduction and review,” Reports on Progress in Physics, vol. 85, p. 104001, 2022.