【探索10 】數學是發現，還是發明？
第一講‧特稿
■ 英國數學家Keith Devlin認為：「數學讓不可見變成可見。」
撰文│張思遠
愛斯基摩語中形容雪的詞語就上百上千種，如果說哪一種語言最簡潔精確地描述真實現象？那就非數學莫屬了。數學是科學的語言，諸如萬有引力定律、熱力學定論或者相對論，甚至日常生活的計算測量，所使用的模型工具都是數學。
日本作家小川洋子關於數學題材的小說《博士熱愛的算式》中故事主角博士是位柏拉圖主義者(Platonist)，堅信數學是發現真理，當中針對管家問到數論研究是否就是發現正整數之間關係，有如下的回答：「沒錯是發現，不是發明，我要找出在我還沒有出世的遙遠過去，就已經不為人知在某個地方存在的定理，就好像一字一句地抄下記錄在上帝筆記本中真理一樣，誰都沒有辦法預知這本筆記本到底在哪裡，甚麼時候會打開。」
數學家Godfrey H. Hardy在其著作《一個數學家的辯白》中提到：「我相信數學實在存在於我們之外，而我們的職責是發現它、觀察它，而我們發明的定理，我們大言不慚地宣稱為我們的『創作』定理，都只是我們觀察的紀錄罷了。」1960諾貝爾物理獎得主魏格納(Eugene Wigner)對數學這種「不合理的有效性」(unreasonable effectiveness of mathematics)亦曾讚嘆不已。
然而，英國數學家Micheal Atiyah認為：「如果我們觀察大腦的演化脈絡，那麼，數學在物理科學中的神秘成就，至少可以說明大腦演化就是為了處理物理世界，因此發明數學這種語言也沒有甚麼好奇怪的了。」此外，麥金塔計劃創辦人Jeff Raskin提到：「人類邏輯是被物理世界強加在自己身上，與世界的運行趨向一致，數學衍生自邏輯，自然會跟物理世界一致，這沒有甚麼好驚訝的。」愛因斯坦也曾經說過：「數學作為人類思想的產物，獨立於經驗之外，怎麼可能和現實世界配合得如此天衣無縫？」
數學究竟是人類智慧的結晶還是獨立於經驗之外的真理等待人類去探索，自有數學開始就爭論不斷。
難以捉摸卻又令人著迷的質數
出自小說《博士熱愛的算式》中管家的一段話：「我認為質數的魅力在於無法說明它出現的秩序。每一個質數都沒有因數，隨意地出現在數列中。雖然數字越大就越不容易找到質數，卻無法根據一定的規則預測質數的出現。這種惱人的反覆無常，使追求完美的博士完全拜倒在它的石榴裙下。」正正道出了質數這種令人欲罷不能的特性。
《自由時報》報導了美國中央密蘇里大學數學家庫柏發現目前為止最大的質數為2的57,885,161次方再減去1，很抱歉的是沒辦法給讀者展示這個目前最大質數的全貌，因為這個質數共有17425170位數，比之前曾經最大的質數多了400多萬位數，如果用Courier New 11號的字體列印，估計需要耗用5319張A4紙。
質數的個數無窮無盡，這早在古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》已經得到證明。根據質數定理，在1億以內共有5,761,455個質數，密度為0.06，平均距離為17.4，當範圍擴大到1兆則有37,607,912,018個質數，密度卻只有0.038，平均距離拉大到26.6，可見隨著數值不斷變大，質數之間會漸離漸遠，越來越「孤獨」。
像3和5、5和7這樣的一對質數只是相差2，稱為孿生質數(twin primes)，當數值變大，質數會越見稀少而且各自間差距也會拉大，但這個羈絆並沒有被磨滅，最大的孿生質數不斷被刷新，已經證明質數有無窮多個，那麼無窮多對孿生質數是否存在？這就是孿生質數猜想。張益唐博士過去不論在求學還是謀職經歷上都波折重重[1]，即使根據統計以及過往經驗，一個學者如果過了人生中最具創意才華的黃金時期，就難以期待在學術上會有甚麼重大貢獻，但他並沒有因此自暴自棄向現實妥協，而是致力研究長久以來數學界未解的難題，孿生質數猜想就是其中之一，結果在年過百半臨近退休之齡，發表論文《Bounded gaps between primes》[2] 證明存在無窮多對質數的差小於7000萬，儘管相對於證明「存在無窮多對質數的差等於2」仍有相當距離，但張益唐博士的證明已經把範圍從無限大縮小到7000萬以內，被視為是近百年來數學界的重大突破。
質數無用之為大用
質數理論在過去數千年歲月裡只是侷限於純粹數學的範疇，枯燥又難搞的個性曾經讓多少研究者望之卻步，直到1977年由美國麻省理工學院Ron Rivest, Adi Shamir和Leonard Adleman所發表的"A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems"[3]論文中提出以三人姓氏的開頭字母組合命名的RSA密碼演算法，首次把質數理論引進密碼學。演算會得到一密鑰對，分別是對外公開的公鑰以及用戶保存的私鑰，公鑰的兩個參數N和e，p跟q分別為大數值的質數，N等於p跟q的乘積，另外e則與(p-1)(q-1)互質，銀行會對客戶公開N跟e的數值，但計算過程中使用的p跟q就無從得知。RSA密碼的操作原理就是基於對兩個大數值的質數相乘所得到的非質數進行因式分解在計算上幾近不可能的事實，質數這種枯燥又難搞的個性反倒成為密碼破譯者的噩夢。
美麗的背後原來有「數」可循
花的種類成千上萬，有2枚花瓣的海棠花、3枚花瓣的鐵蘭花、5枚花瓣的油桐花、8枚花瓣的波斯菊以及13枚花瓣的瓜葉菊，花瓣數目各不相同，看似只是隨機亂序的生物演化，背後卻有規律可循！意大利數學家費波那契發現2加3等於5，而5加上8等於13，如此類推，這就是著名的費氏數列，有趣的是，自然界幾乎所有花都符合數列的規律。
開普敦發現如果數列的後項除以前項，就像3除以2，5除以3，8除以5然後13除以8，以此類推，得到的比值會趨近1.618，也就是黃金比例，所以費氏數列又稱為黃金分割數列。古希臘畢達哥拉斯學派就進行過正五邊形的作圖，這可能是人類最早對黃金分割的研究，大自然美侖美奐的產物幾乎都合於黃金比例，比如鸚鵡螺和海馬，由於黃金分割具有美學上價值，大多數建築物以及3C產品螢幕在設計上都依循著黃金比例，人類把黃金分割應用到日常生活上的各個層面。
因為需要，所以發明
如果要把2片麵包平均分給3個人，可以把兩片麵包切成3等分，每人分給2/3片，理論可行但執行上有困難；如果用古埃及分數的方式，把2/3拆解為1/2與1/6的和，執行時就先分給三人各自半片麵包，最後的半片麵包平分3分，各取1/2片加上1/6片的麵包，同樣是每人2/3片麵包，但操作上較為簡易而且可能出現的誤差較少。
法國天文學家Le Verrier利用數學推算出海王星的運行軌道，是太陽系八大行星中惟一不是透過天文觀測所發現的。南非物理學家Allen Cormack發表了電腦斷層攝影(computer tomography, 簡稱CT)技術可行性的論文《函數的線積分及其放射學應用》，當中的數學構想其實是來自奧地利數學家Johann Radon所提出的Randon transform。就這樣，一門抽象的數學成為日後CT實際應用的理論基礎。
發明與發現不是截然二分
作家Philip J. Davis和Reuben Hersh在《數學經驗》一書中提到：「典型的專業數學家在平日信奉柏拉圖主義，認為數學是發現，到假日就搖身一變成為形式主義(formalist)者，覺得數學是發明。也就是說，當數學家從事數學研究時會相信自己正在試圖判定其性質的客觀事實，但緊接著被要求賦予這個事實的一個哲學解說時，數學家又會發覺『假裝不相信』是最簡單的說法。」
Mario Livio在《上帝是數學家？》中提到：「我們的數學是發明和發現的結合。歐幾里得定理這種概念是發明，就像下西洋棋的規則是發明。另一方面，歐幾里得幾何學的定理，大致說來就是發現，它們是連接不同概念的路徑。基本上，概念就是發明，質數這種概念是發明，但所有關乎質數的定理都是發現。數學知識具有非常豐富的文化脈絡，想要深入理解數學，從『發現＋發明』面向切入，或許值得我們嘗試！」
其實不管是發明還是發現，純粹的二分法到後來都不免會產生矛盾。
古代數學作為日常生活所需處理簡單數目及幾何形狀的學問，到了十七世紀中葉隨著微積分學的成熟，數學成為研究變化的學問，不再侷限於純粹數學，更多地擴及到應用方面。時至今日，數學研究發展大放異彩，作為拓樸學、邏輯學、統計學、密碼學、物理學、化學等多個學科的理論模型工具。如果說千年來的數學發展都只是更進一步地發現真相，全盤否定過去人類智慧的成果顯然是不合理的；反之亦然，無可否認的是，某些數學工具確實是為了解釋現象而量身打造：比如應用微積分來驗證經濟直覺；另外一些數學定理就像太陽東升西落，是鐵一般的事實只能描述而無法更動的，例如質數定理，似乎發現與發明同在的說法較為中肯。
如果你為解決數學本質的問題感到困頓不已，不妨參考英國數學家Keith Devlin的見解：「數學讓不可見變成可見。」
[1]張益唐延伸傳記
http://case.ntu.edu.tw/blog/?p=13917
http://case.ntu.edu.tw/blog/?p=13966
http://case.ntu.edu.tw/blog/?p=14046
[2] 《Bounded gaps between primes》論文發表：http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989
[3]《A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems》論文發表：請點此
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本文整理自：102/09/28下午由洪萬生教授在臺大應力所國際演講廳所主講之「數學是發現，還是發明？」的演講內容
延伸閱讀：臺大科學教育發展中心探索基礎科學講座2013年9月28日第一講〈數學是發現，還是發明？〉全程影音
責任編輯：Vita Chen