非歐幾何

宇宙的形狀只有三種可能，其中之一是三維的歐氏空間，另外兩種則是非歐空間。而在這三種可能中，只有第一種容易想像，因為歐氏幾何正是根據人類的直覺發展出來的。另外兩種非歐空間就比較難懂，所以我們最好從頭說起。

黎曼當初所定義的流形相當抽象，幾乎難以望文生義。幸好他舉了一個平易近人的例子──色彩是一種連續的流形──讓我們得以藉此體會他的想法。比方說，通常我們會用「色譜」或「色彩空間」作為色彩的具體模型，因此根據黎曼的定義，這些(一維、二維、三維)的幾何結構都是所謂的流形。

高斯曾主持一個龐大的測地計畫，斷斷續續花了三十年時間，仔細丈量漢諾威王國境內的土地。由於這個工作和他的研究領域(數學、物理、天文)多少有些落差，使得許多朋友感到不解，甚至有人替他覺得不值。
事實上，在高斯感興趣的數學主題中，至少有兩項和這個測地任務息息相關，那就是非歐幾何與曲面理論。

克卜勒在十七世紀初，根據大量的觀測數據，大膽推測行星軌道都是橢圓(亦即所謂的克卜勒第一定律)。七十多年後，當牛頓撰寫《自然哲學的數學原理》時，發現阿氏(Apollonius)早就為他準備好了幾何工具。換句話說，牛頓是站在阿氏肩上證明出下列事實：太陽系的天體軌道一定是圓錐曲線；橢圓軌道對應於行星和週期彗星，拋物線和雙曲線則對應非週期彗星。