【大宇宙小故事】50 霧裡看花

撰文|葉李華

「我們明明能用雲霧室觀察到電子的軌跡,你卻拒絕相信氫原子中有電子軌道,我很好奇你怎麼會有這種古怪的想法。」──愛因斯坦(1926)

將水蒸氣注入封閉容器,用降溫的方式讓蒸氣達到「過飽和」,此時若有帶電粒子射入容器,便會將許多水分子撞成離子。這些離子會扮演凝結核的角色,使得周圍的蒸氣凝結成霧,因而顯現出粒子的行進軌跡。這就是所謂的雲霧室(cloud chamber),發明人是英國物理學家威爾遜(Charles Wilson, 1869-1959),因此也稱為威爾遜雲霧室。

二十世紀前半葉,雲霧室對物理學的進展有過重大貢獻,例如電子的反粒子(正子)就是在雲霧室首度現蹤,時間是1932年。而在五年之前,這個裝置還立下一樁意外的功勞,那就是促成「測不準原理」(Uncertainty principle)的誕生。這個名詞譯為「不確定性原理」或許更貼切,但在白話的層次,前者較能發揮顧名思義的效果。

(左)雲霧室其實並不大,或許改稱「雲霧箱」較為恰當;(右)雲霧室中首度出現的正子軌跡
(圖像來源:維基百科)

話說1926年最後兩三個月,在哥本哈根大學(如今的)波耳研究所,波耳和海森堡兩人展開密集討論,對量子力學的現況做了通盤檢討。在他們討論的眾多問題中,最有代表性的(恰好也是最通俗易懂的)就是雲霧室裡的電子軌跡。

這些軌跡是千真萬確的實驗結果,然而弔詭的是,無論海森堡自己的矩陣力學,或是敵對陣營的波動力學,當時都無法做出合理的解釋。矩陣力學中並沒有軌跡之類的概念,根本無從描述;波動力學把電子視為一團「波包」,卻無法解釋它為何能前進一大段距離而不潰散。

由於波耳全家和海森堡都住在研究所裡,師徒倆經常挑燈夜戰,討論到凌晨一兩點是家常便飯。如此日復一日,到了次年初,兩人都有點受不了了。二月中旬,為了暫停這場馬拉松,波耳索性離開哥本哈根,去挪威的滑雪勝地隱居數週。這段時間海森堡雖然哪兒也沒去,但既然老板不在身邊,他在心情上也和休假無異。至少,現在他能完全按照自己的思路探討這個問題,不必再顧慮波耳的想法。

短短幾天後,海森堡就有了重大進展。具體日期雖不可考,但一定早於2月23日。那天深夜,他忽然想起去年春天和愛因斯坦的一段對話:「我們明明能用雲霧室觀察到電子的軌跡,你卻拒絕相信……」但這次特別響亮的字句,不再是愛因斯坦的逼問,而是他後來苦口婆心的叮嚀:「你能觀測到什麼,其實是由你的理論決定。」

海森堡彷彿抓到一絲飄忽的靈感,為了乘勝追擊,他走出研究所,來到附近的公園一邊散步一邊沉思。走著走著,他果然想通了關鍵:如果電子真有軌跡,也應該和「雲霧室中的軌跡」大相逕庭。

或許我們可以這麼比喻,前者接近一條完美的數學直線,後者則是用粉筆在黑板上畫出的粗糙複製品。說得更精確些,雲霧室中的軌跡本質上是一串水滴,每滴都比電子大了無數倍!

之前海森堡絞盡腦汁,設法用矩陣力學產生完美的直線,現在他明白那是不切實際、甚至不可能的事。事實上,只要能夠產生「粉筆畫出的直線」,就等於在雲霧室實驗和量子力學之間搭起一座橋樑。

海森堡繼續想下去,既然「絕對精確」沒有必要也不可能,或許應該把問題修正一下,改為要求「相對精確」即可。換句話說,只要讓電子的位置和速度有個大致的精確範圍,應該就能反映現實了。當然,這個範圍不能太大,因為電子在雲霧室中還是有「跡」可循,而不是亂跑一通。

這樣的要求,矩陣力學做得到嗎?

海森堡趕緊回到研究所,拿起紙筆進行計算。不一會兒,他便發現從矩陣力學出發,的確能夠導出所需要的數學結果。

這個結果就是著名的測不準關係式:位置不準度和動量不準度的乘積大約等於普朗克常數(△q*△p~h),白話解讀則是:一個粒子(在某個方向上)的位置和動量不可能同時測量得無限精準。

這個關係式剛好符合海森堡的兩項需求:(1)讓電子的位置和速度有個大致的精確範圍(因為速度就是動量除以質量);(2)這個範圍並不大(因為普朗克常數很小,請參考〈有沒有故事(上)〉)。

必須強調的是,△q*△p~h只是一維空間的關係式(可將q視為x方向的位置,而p是這個方向的動量),但推廣到其他兩維(y, z)是天經地義的事。不過海森堡並不以此為滿足,他還大膽地將它推廣到第四維,也就是時間。而根據狹義相對論,第四維動量就是能量,於是他立刻得到△t*△E~h這個結果,意味著一個粒子的時間和能量也不可能同時測量得無限精準。

因此我們可以說,測不準關係在時空之中無所不在!千萬別以為這個結果令人沮喪,其實它具有非常積極的意義:在這個不再明確的四維時空中,海森堡看見一幅朦朧的量子圖像。如果這麼說太朦朧,我們大可換個方式:在此之前,海森堡對薛丁格的量子圖像總是嗤之以鼻,現在他自己居然找到折衷之道,那就是以「模糊的圖像」取代「清晰的圖像」。

微觀世界彷彿永遠籠罩一層霧氣,一切因此朦朧模糊,類似右圖;巨觀世界則看不到這種霧氣,類似左圖。(圖像來源:維基百科)由此可見,雖然巨觀世界的棒球軌跡清晰明確,我們卻不能依此類推,認為電子的軌跡同樣清晰、同樣明確。

順著這個思路,海森堡大約花了兩週時間,寫成一篇博大精深的論文〈量子運動學與動力學的直觀內涵〉。當波耳仍在挪威滑雪時,論文初稿已經順利出爐。

這篇論文雖以測不準原理為主軸,實際上內容洋洋灑灑,甚至可說將量子力學的重要概念一網打盡。以下舉其瑩瑩大者,盡量以科普語言做個介紹:

一、包括題目在內,直觀(Anschaulichen)這個詞頻頻出現。追本溯源,這或許是因為薛丁格曾在論文中批評海森堡的理論欠缺直觀圖像(Anschaulichkeit)──這兩個德文顯而易見同出一源,它是個哲學名詞(Anschauung),中文通常譯為「直覺」或「直觀」。

如前所述,在測不準原理這個前提下,海森堡不再和量子圖像勢不兩立,只要圖像並非絕對清晰即可。既然有了圖像,直觀或直覺當然能派上用場,這可算是海森堡的重大讓步,但他自己也是受惠者,他的理論因而變得平易近人許多。

二、另一方面,海森堡仍將薛丁格當成對手,在論文中至少做了兩點尖銳的回應。其中之一比較直接,那就是一針見血地指出「波包理論」並不正確。

薛丁格曾在〈從微觀力學到巨觀力學的連續變遷〉這篇論文中,利用簡諧振盪示範波包能表現得酷似粒子。針對這點,海森堡毫不客氣地批判對手以偏概全──穩定的波包只存在於簡諧振盪系統,如果換成其他例子,例如上述的自由電子,或是氫原子內,波包就不可能永遠保持原狀。

三、海森堡對薛丁格的另一項回應,牽涉到了雙方陣營最大的歧見──電子轉換能階的機制。波耳這一派堅信它是不連續的過程,因此稱之為量子躍遷或量子跳躍(quantum jump; quantum leap),薛丁格則誓死反對這種觀點。

根據薛丁格的推論,「躍遷」和「時間」是彼此無法相容的概念;不論躍遷是瞬間完成,抑或需要一段時間,他都有辦法找出物理上的矛盾。乍看之下,至少就邏輯而言,薛丁格已經立於不敗之地。

然而,海森堡卻巧妙利用第四組測不準關係(△t*△E~h)反敗為勝:如果能階可以測得很準,時間就不可能準確測量出來,這時拿時間作文章是毫無意義的事。如此四兩撥千斤,便將薛丁格的詭論化解於無形。

四、玻恩雖然導出pq-qp=h/2πi這個重要公式(請參考〈海姑蘭之夜〉註二),並曾示範如何從中算出量子化的能階,卻未能進一步說明其中的物理意義。海森堡則明確指出這個公式和△q*△p~h關係密切,意味著測不準原理就是它的物理意義(之一)。

五、此外,海森堡還站在玻恩肩膀上,將波函數的機率解釋發揚光大,提出了最原始的「波函數塌縮」概念。但由於這點牽扯太廣,將來有機會我們再好好討論。

六、這篇論文的結論也頗值得一提:「因為所有的物理實驗,追根究柢都受到量子力學控制……因此量子力學斬釘截鐵地否定了因果律。」海森堡以無比堅定的口吻,敲響了因果律的喪鐘,這無異於預告一場物理革命的來臨。

不過論文並未就此結束,在正式刊出之前,海森堡及時在後面加上一個附錄,針對一些疏漏做出更正,並且特別銘謝波耳的指正與寶貴意見。然而那幾句話過於客套,並未忠實呈現背後的辛酸,至於詳情如何,當然是另一個故事了。

忠實模擬簡諧振盪子的波包(圖像來源:維基百科)在本圖中,波包的形狀以振幅絕對值的平方來表現,請注意它始終保持原狀。

 

加入好友

3,590 人瀏覽過