【大宇宙小故事】47 海姑蘭之夜
撰文｜葉李華
「這是最好的時代，也是最壞的時代。」──狄更斯
「人類之所以有進步，就是因為下一代不聽上一代的話。」──倪匡
公元1924年，量子物理發展了將近四分之一世紀，雖然理論與實驗都有許多進展，卻一直未能解決幾個根本的問題。正因為如此，當愛因斯坦讀到德布羅意的博士論文，才會覺得看到一線曙光(請參考〈電子波與諾貝爾〉)。換句話說，物質波好像一劑強心針，讓愛氏對量子物理的未來充滿信心。
可是並非人人都那麼樂觀，例如包立(Wolfgang Pauli, 1900-1958)這位「物理神童」便抱持相當悲觀的態度。雖然著名的「包立不相容原理」就是那段時期的發明，他對現況還是樂觀不起來。1925年五月，在他寫給朋友的信中，出現了這麼一句話：「如今物理學又是一片混沌，總之超出我的能力太多。我多麼希望自己是個喜劇演員，從來不知道物理是什麼。」
包立的悲觀其來有自，當時的量子物理看似百花齊放，其實一切都是見招拆招，欠缺統一的作戰方案，甚至連方案的影子都沒有。
恐怕包立做夢也想不到，就在寫這封信的時候，他的同門師弟即將掀起一場量子革命。這位師弟不是別人，正是鼎鼎大名的海森堡(Werner Heisenberg, 1901-1976)。他和包立一樣二十出頭就獲得物理博士，然後兩人各奔前程，但仍保持密切聯繫。
海森堡共有三位恩師：指導教授索末菲(Arnold Sommerfeld, 1868-1951)、第一位「老板」玻恩(Max Born, 1882-1970)以及後來和他最投契的波耳。他曾在玻恩的許可下，前往丹麥追隨波耳大半年，根據他自己的說法，那是他治學的黃金時期。話說回來，雖然海森堡對波耳崇敬有加，他破解量子之謎的方法卻是自己摸索出來的，某些方面甚至還跟波耳唱反調。
海森堡的方法是標準的知易行難，他堅持在研究量子問題時，只能使用客觀的實驗結果，不得摻雜任何主觀的想法。以氫原子為例，它的發射光譜(包括頻率和強度)是唯一的客觀數據；其他諸如「能階」、「離散軌道」甚至「駐波」之類的概念，其實都是波耳模型的理論產物，無法用任何實驗直接觀測，所以必須忍痛放棄。
換句話說，海森堡年紀輕輕就立下宏願，堅持使用「可觀測的物理量」建立一個統一的量子物理體系。
然而，正應了積勞成疾這句話，1925年六月初，他剛從丹麥回到德國不久，突然罹患嚴重的花粉熱，整張臉腫得像被痛毆一頓。於是他向玻恩請兩週病假，離開他們的大本營哥廷根，前往一個以「草木不生」著稱的渡假勝地療養。那就是位於德國北海岸附近的海姑蘭島(Heligoland=Helgoland)，它和哥廷根的直線距離大約350公里。
一旦遠離花粉，海森堡的健康很快有了顯著改善。他當然閒不下來，除了散步和游泳等健身活動，其他時間都在繼續研究他的新方法。由於心無旁騖，進展得相當順利，某天晚上終於有了重大突破。
多年後他回憶道：「前幾項似乎都不違背能量守恆，我因此相當興奮，開始出現許多粗心的錯誤。到了將近凌晨三點的時候，最後的計算結果終於出爐。每一項都符合能量守恆，於是，對於這個新誕生的量子力學其中的數學一致性，我再也沒有任何疑慮……我實在太興奮了，根本睡不著，等到曙光乍現，我向小島南端走去，那兒有個伸到海面上的岩石，之前我一直想爬上去。其實並不怎麼難爬，我沒花什麼力氣就爬到頂端，開始待在那兒等待日出。」不知大家有沒有注意到，最後幾句話(之前我一直想爬上去……)是標準的雙關語！
事實上，當時海森堡並非直接研究氫原子，而是用比較簡單的「不完美簡諧振盪」當作試金石，但基本原理並無二致。總之，一門嶄新的量子力學就在那天誕生了。後來物理學家刻意稱之為「矩陣力學」，一來它以矩陣為基本工具，二來則是因為不久便出現一個跟它分庭抗禮的「波動力學」。
不過，千萬別以為海森堡一開始便使用矩陣進行計算。其實直到那時為止，他從未接觸過線性代數或矩陣理論(那個時代數學和物理各走各的路，彼此越來越疏遠)。因此他的計算過程非常複雜，但就數學本質而言，那正是如今所謂的矩陣代數和矩陣微積分。
其中最耐人尋味的是在量子物理的啟發下，海森堡以閉門造車的方式，摸索出了矩陣的乘法規則。學過矩陣的人都曉得，矩陣乘法最大的特色就是不可交換，亦即AB≠BA。對於這個結果，想必身為物理學家的海森堡起初覺得很奇怪，幸好他對自己的推論頗有信心，並未因此輕易放棄。
此外還有必要強調一點，即使將海森堡的計算改寫成矩陣，它們跟一般的矩陣也不太一樣，因為這些矩陣擁有無窮多的行列，而不是2x3, 4x4之類的有限階矩陣。
至於為什麼物理量(例如位置、動量)以矩陣形式出現，則是一件很難解釋的事。我們只能簡單地說，原因可追溯到海森堡只允許「可觀測的物理量」出現於計算中。就氫原子而言，最典型的可觀測量就是光譜頻率，而這些頻率都源自兩兩能階的差，因此最自然的表現方式就是排成矩陣，例如f21這個元素代表「從第二階降到第一階的發射光譜頻率」，f23代表「從第二階升到第三階的吸收光譜頻率」。
由於氫原子中的電子無法直接觀測，海森堡認為它的位置和動量不能用傳統的方式來理解，換言之，兩者(的三個分量)都不可能是傳統觀念中的純量。另一方面，既然可觀測的物理量只有(排成矩陣的)頻率和強度，電子的位置和動量也必須用矩陣來表現，不可能有別的選擇──這就是海森堡所謂的「重新詮釋」。
不過這種「重新詮釋」僅適用於物理量，至於物理量彼此之間的關係，也就是俗稱的物理公式，海森堡要求必須保持(古典物理的)原貌。以牛頓第二運動定律(F=ma)為例，在矩陣力學中，力(F)與加速度(a)都要改寫成矩陣，但在改寫之後，F=ma這個公式依然保留原來的形式。
以上這些概念，雖然在邏輯上完美無瑕，但革命性實在太強，海森堡自己也不太有把握。離開海姑蘭島後，他先繞道漢堡，拜訪在那兒任教的包立，請師兄盡量批評指教，結果獲得正面的評價。海森堡這才信心滿滿地回到哥廷根，把論文寫好交給老板玻恩審閱。玻恩看完後，當下便有一種似曾相識的感覺，想了幾天幾夜，終於聯想到大學時代學過的矩陣理論。這正是玻恩不同於一般物理學家之處，他其實可以算是半個數學家。
這篇論文不久便順利發表，就物理學發展史而言，它標誌著「舊量子論」自此成為歷史，取而代之的是「量子力學」這個統一且完整的物理體系。不過這種說法純屬後見之明，事實上，當時這篇論文(以及玻恩團隊隨後追加的兩篇)並未引起多少回響。主要原因並非矩陣是陌生的數學語言，而是因為海森堡的觀念太過超越時代，物理學界一時之間無法接受那麼激進的觀點。
這大大出乎海森堡意料之外，年輕氣盛的他因而相當沮喪，甚至有點心灰意冷。至於他後來如何走出低潮，當然是另一個故事了。
註一：就某方面而言，「海森堡的堅持」頗為類似愛因斯坦在狹義相對論中對時空所採用的操作型定義──只有能被觀測的長度和時間才真正有物理意義。因此在1926年春天，海森堡碰到持反對意見的愛氏，兩人有過這麼一段有趣的對話：
愛：你該不會真的堅持物理理論只能使用可觀測量吧？
海：您在相對論中不正是這樣做嗎？您曾強調「絕對時間」無法測量，所以連提都不能提。時間只能由鐘錶的讀數決定……
愛：或許我的確用過這種觀點，即便如此，它還是非常荒謬……
註二：矩陣力學的「基石」包括下列三篇完成於1925年下半的論文：
1.〈以量子理論重新詮釋運動學與動力學的關係式〉，作者為海森堡
2.〈論量子力學〉，作者為玻恩與約當(P. Jordan, 玻恩的另一位研究助理)
3.〈論量子力學II〉，作者為玻恩、海森堡、約當
第一篇論文的摘要很短，但字字擲地有聲：「本研究試圖建立一個完全奠基於可觀測量彼此關係的量子力學基本體系。」
矩陣語言在第二篇正式出現，相關計算因而變得簡潔有力。量子力學的經典公式pq-qp=h/2πi便是出自這篇論文(第38式)。
氫原子能階的矩陣力學計算非常困難，當年年底由包立獨力完成，並未包含在這三篇論文中。
