【女科學家】舞動於代數之美的數學家──埃米·諾特

撰文｜王鈺雯

「純數學，因此，如同邏輯思想的詩歌；埃米·諾特(發音為NER-ter)追尋一個可以兼具簡約、合理、廣泛應用的通則。愛因斯坦讚美她：「在追尋邏輯美學律動的規則時，發掘貫穿自然法則要素」(意譯，原文見註一）。

埃米·諾特 (Emmy Noether, 1882-1935)一生的成就在兩個方面：抽象代數和理論物理學。她研究抽象代數，如微分不變量理論及伽羅瓦理論，將不同領域中類似的數學現象抽取出來抽象化及公理化，然後統一的用代數來描述。理論物理學的研究上，她推導出了諾特定理（見註二）。根據她的定理，物理學家知道了有對稱性的公式具有守恆的性質。諾特再進一步推導成一個通用的數學定理：在一個物理系統內，任何一種數學上的連續對稱性，都必定對應到一種物理上的守恆定律。諾特定理的普遍性讓它在古典物理學內威力無窮，甚至有人認為可以跟愛因斯坦的相對論相媲美。

埃米·諾特雖然對數學跟物理有偉大的貢獻，但是只因她身為一個十九世紀末二十世紀初的猶太女性，她的學術研究道路異常坎坷。

埃米·諾特出生於德國巴伐利亞邦埃朗根(Erlangen)，父親馬克斯·諾特(Max Noether)是埃朗根大學的數學教授，專精於代數幾何學與代數函數論。她1900年從女子高中畢業後，符合當時社會對女子的預期，順利的取得了英語與法語教師資格。但自幼在父親及其友人的薰陶下，諾特對於數學充滿了熱誠。即使在當時的德國法律下，女生不被允許就讀大學，通過了入學考試諾特還是只能以自費旁聽生的身分到在埃朗根大學聽課。在如此困難的學習環境下，諾特旁聽了每一門數學課，且永遠坐在最前排聽講。她認真的態度獲得教授們的喜愛，並在1903年參加了畢業考試，但是因為沒有學籍無法取得大學文憑。之後，諾特繼續前去哥廷根大學(Georg-August-Universität Göttingen，註三) 旁聽。

在這些當時一流大師所開設的課堂內，諾特堅定了往數學研究發展的決心，也因此認識了菲利克斯·克莱因(Felix Klein)和大衛·希爾伯特(David Hilbert)。在1904年埃朗根大學開放女子入學時，諾特順利的通過了博士班的入學考試，成為第二個從埃朗根大學畢業的女子學生，於1907年以最優等的成績通過博士學位的口試（註四）。

雖然諾特費盡千辛萬苦取得博士學位，但她的母校拒絕雇用女性教授，她只能跟隨著自己的父親，一邊做研究，一邊在有需要的時候幫她父親代課。就這樣諾特在埃朗根大學無薪工作了七年，直到她驚人的才華已無法被德國數學界所忽視。

1915年，哥廷根大學的克莱因和希爾伯特試圖說服其所任職的單位錄用諾特，他們認為諾特的才華會對他們正在完善的愛因斯坦一般相對論多所助益，可惜校方多人質疑女性任教的正當性，校方反對的理由包括：「當我們的士兵從戰場回到大學，卻發現他們需要從女人的腳邊學東西。」及「若讓女性成為私講師，之後也許就會讓她當教授，這樣她就可以進入學校評議會。評議會會員怎麼可以有女性？」，甚至不願提供私講師的職位（註五）。希爾伯特憤而回應「我無法理解為何候選人的性別與她是否適任為私講師有所關係，此處是大學，不是澡堂」。由於諾特無法取得私講師的頭銜，1915-1919年間，諾特只能在希爾伯特掛名的課程中以助教的身分授課，但諾特在這艱困的期間完成了不變量定理跟諾特定理的雛形。

直到1919年，因為一戰後勞動力大量缺乏的情況下，社會氛圍丕變，女性工作權開始被當時的社會重視，甚至可擁有投票權。諾特在學術上無可質疑的優異表現，終於獲得了私講師的身分，得以以自己的名字開課（關於諾特上課表現及教學評論請參考[6]）。諾特在1921年完成「具革命性的」論文《環中的理想論(Idealtheorie in Ringbereichen)》，並憑著此論文在1922年升等成的副教授。

雖然身為「副教授」，卻是一個「沒有終身職也沒有薪水」的職位，只能靠著當時系主任理查·科朗特(Richard Courant)極力為她爭取「委任教學」(Lehrauftrag，每年複審)工作的微薄薪水及父親的遺產過活，這種不公平的待遇不只是因為她是猶太人、和平主義者，也同時因為她是女人。

因為諾特身為女性，除了待遇上的不公平，她在任德國數學年刊(Mathematische Annalen)編輯期間並不具備職銜，即使她是一個絕佳的數學期刊編輯。終其一生，她的研究成就備受當代眾多學者肯定，她還是沒有在德國升等成教授，也無法成為研究院院士。

諾特1932年在國際數學大會(International Congress of Mathematicians)上發表了長達一小時的全會演講，許多當代代數學家於會場祝賀她50歲生日。這年被認為是她學術生涯的高峰。

1933年，希特勒及納粹領導了德國。雅利安(aryan)主義興起，來自學生及政府的壓力使得諾特與其他科學家被迫喪失授教權。隨著局勢不斷惡化，諾特被迫離開德國。因為大量流亡教授及經濟不景氣，即便友人到處為她奔走，最終她只獲得美國布林莫爾女子學院(Bryn Mawr College)及牛津大學薩默維爾女子學院(Somerville College, Oxford)的教職邀請。諾特選擇去美國。她在布林莫爾受到了熱烈的歡迎，與其他女性科學家的相處讓她覺得新奇的美好，與研究生的討論進展流暢，還能每星期去普林斯頓(Princeton)大學教一堂課(註七)。

好景不常，諾特於18個月後死於子宮頸瘤手術後的血栓，享年53歲。愛因斯坦在她的悼詞＜祭埃米諾特 (The Late Emmy Noether)＞裡寫到：「自女性高等教育開始以來，在評論最優秀的當代數學家時，諾特女士是最不可忽略且富有創造力的數學天才。(意譯，原文見註八)」，讚美她的卓越的貢獻：「代數，這個使得無數最有天賦的數學家忙碌了幾個世紀的領域，因為她所發現的方法，對當代年輕一代數學家的發展造成重要影響。」

 

註解：

註一：“In the realm of algebra, in which the most gifted mathematicians have been busy for centuries, she discovered methods which have proved of enormous importance in the development of the present-day younger generation of mathematicians. Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. One seeks the most general ideas of operation which will bring together in simple, logical and unified form the largest possible circle of formal relationships. In this effort toward logical beauty spiritual formulae are discovered necessary for the deeper penetration into the laws of nature. ”

註二：簡單介紹對稱與物理守恆律的關係。例如說，物理學家在研究一個物理系統時，通常會先嘗試找到這個系統的總能量隨系統內各粒子的位置、動量、以及時間如何變化的規律，並寫成數學函數，稱作哈密頓量(Hamiltonian)，寫作 H = H ( p, q, t)。早在十九世紀時，數學家和物理學家就知道，若某個物理系統的哈密頓量在動量 p 及位置 q 固定時，其函數表達式亦不隨時間 t 有任何改變，則這個系統內所有粒子的能量守恆。這樣不隨時間 t 改變的性質稱作時間連續對稱性；換句話說，若一個物理系統具有時間連續對稱性，則此系統能量必定守恆。數學家和物理學家還發現了其他類似的定律，例如空間連續對稱性代表動量守恆，角度連續對稱性代表角動量守恆等等。諾特進一步推廣這些原理，將它變成一個通用的數學定理，被稱作「諾特定理(Noether's theorem)」。亦即，在一個物理系統內，任何一種數學上的連續對稱性，都必定對應到一種物理上的守恆定律。

註三：哥廷根大學自卡爾·弗里德里希·高斯(Johann Karl Friedrich Gauß, 英文 Gauss)任教後，至二戰結束前一直是世界數學及科學的勝地。目前當代數學及科學譜系，幾乎皆可連至高斯做起源。

註四：在當時，學校會以不同的拉丁文學位榮譽來獎勵特別優異的學生，共分成Summa Cum Laude - 最優等(約在全班前5%)， Magna Cum Laude - 極優等(約在全班前10%)， Cum Laude - 優等(約在全班前25%)。諾特獲得的學位是Summa cum laude。

註五：私講師（Privatdozent（男士）及Privatdozentin（女士））是德語系國家內的一種大學職位，任教於大學卻無法獲得底薪，收入來自於學生的學費。私講師大多教授於大班課程，副教授以上針對少數的優異學生。私講師就如同副教授預備役，具終身職，然而不適用於諾特的例子。

註六：諾特甚至可以接受學生穿著納粹衝鋒隊(Sturmabteilung，SA)的制服來上課，學生還有納粹後來的宣傳部主任約瑟夫·戈培爾(Paul Joseph Goebbels)。

註七：諾特曾說普林斯頓是個「男人的學校，女人無法得到認同」(men's university, where nothing female is admitted)[3]

註八：“In the judgment of the most competent living mathematicians, Fraulein (德文的「女士」) Noether was the most significant mathematical genius thus far produced since the higher education of women began.”
參考資料：
[1]A. Einstein, "The Late Emmy Noether," The New York Time, p.12, May 4th 1935.
[2]N. Angier, “The Mighty Mathematician You’ve Never Heard Of, ” The New York Time, March 26, 2012.
[3]Emmy Noether
[4]Galois theory
[5]抽象代數之母—諾特
[6]顏一清，Emmy Noether的一生（pdf格式），《數學傳播》第21卷第4期
[7]Emmy Noether
[8]M. Cavna, “Emmy Noether Google Doodle: Why Einstein called her a ‘creative mathematical genius’” The Washington Post, March 23, 2015
[9]Alexandrov, P. S. "In memory of Emmy Noether." In Emmy Noether 1882–1935, pp. 153-179. Birkhäuser Boston, 1981.
[10]Emmy Noether