【科學史沙龍】虛幻乎？真實乎？－談虛數的幻與真
■「連結實數世界裡兩個真理的最短路徑，是通過虛數。」這是法國數學家雅克．阿達馬 (Jacques Hadamard) 的名言。那麼我們可以從虛數的演進過程中，對於真理有什麼更深入的理解呢？
講者｜國立臺灣大學數學系 蔡宜洵教授
撰文｜高英哲
十六世紀的數學家，在展示二次跟三次多項式的解時，用到了√-1 、√-2 這些帶負數的根號；笛卡爾說這些數是「想像的」，牛頓更是直接說這種數「不可能」。不過這些數字雖然不能說它們存在，但如果把它們當成實數來計算，卻不會產生什麼太大的矛盾。到了十八世紀，數學家更發現若是用上虛數，就可以用非常乾淨的形式，把指數函數跟三角函數串在一起，很簡單俐落地解決一些三角函數的積分問題。
到了十九世紀，法國數學家柯西 (Augustin-Louis Cauchy) 用非常嚴謹的方法，證明了代數基本定理：任何一個一元複係數多項式，都至少有一個複數根。他因此認為虛數雖然只是一個沒有意涵的象徵，但是透過它卻可以導出有意涵而且精確的結果。
至於另一位大名鼎鼎的數學家高斯 ()Johann Carl Friedrich Gauss) ，他對於虛數的態度也很有趣。他最初想要不用虛數，就能證明代數基本定理，但後來卻主張虛數應該要有跟實數同等的地位；他研究到後來，甚至認為那些不相信虛數的人，都覺得虛數有其隱晦之處，但那只不過是因為虛數超越了大多數人的經驗而已。柯西一直都認為虛數只是個便於計算的象徵工具，不太同意高斯的見解；但他後來自己研究過高斯的觀點後，反而開始談論高斯以幾何觀點看待虛數的論點。
虛數除了成為數學家推公式的工具以外，有沒有比較貼近於現實生活的應用呢？我們可以用它來畫地圖。畫地圖有個基本問題：地圖是平面，地球是球面（實際上是類球面），幾何上就不一樣，所以很難完全對應到現實。傳統上我們用球面投影的方式畫地圖，雖然不能保距（地圖距離對應現實距離），但是可以保角（地圖方位對應現實方位），這樣起碼航海就不會走錯方向。高斯證明了任何曲面都可以畫出保角地圖，就用到了複數跟複變數函數。
雖然虛數有這樣實際上的神秘作用，不過它有沒有更為深刻的意義呢？十九世紀的數學家提出了一種觀點，認為我們若是把 x-y 軸平面複數化（也就是把 y 軸視為虛數軸），在數學運作上就有更大的自由度。德國數學家黎曼 (Bernhard Riemann) 更將這個觀點從平面拓展到曲面，建立起透過複數來了解曲面結構與幾何意義的「黎曼面」 (Riemann surface) ，如今是物理學上超弦理論不可或缺的數學工具。
從人們發現虛數，應用虛數，到為虛數建立一套理論，我們可以這樣的過程中學習到什麼？這是西方科學很重要的一環，也就是「找出觀點」。以虛數為例，因為曲面可以複數化這個「觀點」，所以才能得到曲面地球畫成平面地圖，仍然可以保角的「詮釋」。虛數的概念發展了幾百年，我們可以在短短的時間內就掌握住這個知識；然而從虛數的故事中，了透並非我們東方傳統的科學精神，也許更值得我們去探究學習。
