【科學史沙龍】虛幻乎?真實乎?-談虛數的幻與真

■「連結實數世界裡兩個真理的最短路徑,是通過虛數。」這是法國數學家雅克.阿達馬 (Jacques Hadamard) 的名言。那麼我們可以從虛數的演進過程中,對於真理有什麼更深入的理解呢?

講者|國立臺灣大學數學系 蔡宜洵教授
撰文|高英哲

十六世紀的數學家,在展示二次跟三次多項式的解時,用到了√-1 、√-2 這些帶負數的根號;笛卡爾說這些數是「想像的」,牛頓更是直接說這種數「不可能」。不過這些數字雖然不能說它們存在,但如果把它們當成實數來計算,卻不會產生什麼太大的矛盾。到了十八世紀,數學家更發現若是用上虛數,就可以用非常乾淨的形式,把指數函數跟三角函數串在一起,很簡單俐落地解決一些三角函數的積分問題。

到了十九世紀,法國數學家柯西 (Augustin-Louis Cauchy) 用非常嚴謹的方法,證明了代數基本定理:任何一個一元複係數多項式,都至少有一個複數根。他因此認為虛數雖然只是一個沒有意涵的象徵,但是透過它卻可以導出有意涵而且精確的結果。

至於另一位大名鼎鼎的數學家高斯 ()Johann Carl Friedrich Gauss) ,他對於虛數的態度也很有趣。他最初想要不用虛數,就能證明代數基本定理,但後來卻主張虛數應該要有跟實數同等的地位;他研究到後來,甚至認為那些不相信虛數的人,都覺得虛數有其隱晦之處,但那只不過是因為虛數超越了大多數人的經驗而已。柯西一直都認為虛數只是個便於計算的象徵工具,不太同意高斯的見解;但他後來自己研究過高斯的觀點後,反而開始談論高斯以幾何觀點看待虛數的論點。

虛數除了成為數學家推公式的工具以外,有沒有比較貼近於現實生活的應用呢?我們可以用它來畫地圖。畫地圖有個基本問題:地圖是平面,地球是球面(實際上是類球面),幾何上就不一樣,所以很難完全對應到現實。傳統上我們用球面投影的方式畫地圖,雖然不能保距(地圖距離對應現實距離),但是可以保角(地圖方位對應現實方位),這樣起碼航海就不會走錯方向。高斯證明了任何曲面都可以畫出保角地圖,就用到了複數跟複變數函數。

雖然虛數有這樣實際上的神秘作用,不過它有沒有更為深刻的意義呢?十九世紀的數學家提出了一種觀點,認為我們若是把 x-y 軸平面複數化(也就是把 y 軸視為虛數軸),在數學運作上就有更大的自由度。德國數學家黎曼 (Bernhard Riemann) 更將這個觀點從平面拓展到曲面,建立起透過複數來了解曲面結構與幾何意義的「黎曼面」 (Riemann surface) ,如今是物理學上超弦理論不可或缺的數學工具。

從人們發現虛數,應用虛數,到為虛數建立一套理論,我們可以這樣的過程中學習到什麼?這是西方科學很重要的一環,也就是「找出觀點」。以虛數為例,因為曲面可以複數化這個「觀點」,所以才能得到曲面地球畫成平面地圖,仍然可以保角的「詮釋」。虛數的概念發展了幾百年,我們可以在短短的時間內就掌握住這個知識;然而從虛數的故事中,了透並非我們東方傳統的科學精神,也許更值得我們去探究學習。

 

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