古巴比倫人比希臘人更早使用畢氏定理

圖片出處:Wikimedia Commons(新圖經過合併再製)

澳洲數學家透過典藏於伊斯坦堡考古博物館的古巴比倫楔形文字泥板Si.427,發現了目前全球最早的畢氏定理應用紀錄,較公元前六世紀希臘的畢達哥拉斯早了一千餘年。該泥板詳載了三組畢氏三元數,應用於當時土地買賣邊界上的棗椰樹糾紛。儘管Si.427泥板並未以現代所熟悉的代數方式呈現畢氏定理,但刻劃內容顯示當時的巴比倫人已懂得利用直角三角形兩邊長和斜邊之間的相互關係。Si.427泥板特別之處在於凸顯了古巴比倫人使用畢氏定理的複雜程度。

編譯|江柏毅

畢氏定理(Pythagorean theorem)是幾何中的一個基本定理,它說明平面上的直角三角形兩條直角邊長度的平方和等於斜邊長的平方;反之,若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長(直角所對的邊)的平方,則它是直角三角形。「畢氏」所指的是其中一個發現該定理的古希臘(薩摩斯島Samos)數學家畢達哥拉斯,年代為公元前六世紀(570 BC),但許多史學家相信該定理早在畢達哥拉斯之前便已在世界各地有所應用。現代西方數學界統一稱呼此定理為「畢達哥拉斯定理」,在中國則有勾股定理或商高定理的別稱。

澳洲新南威爾斯大學(University of New South Wales)數學家Daniel Mansfield博士日前在檢視伊斯坦堡考古博物館(Istanbul Archaeological Museum)所典藏的一塊巴比倫楔形文字泥板時發現該泥板上載有可能是目前全球最早的畢氏定理應用證據,較希臘人早了一千多年。這塊泥板的編號為Si.427,1894年便由法國考古學家Jean-Vincent Scheil於伊拉克中部的Tell Abu Habba遺址發掘出土,年代為公元前1900至1600年的古巴比倫第一王朝時期,是該時期目前唯一所知,上頭詳載土地在分割出售後的法律與幾何細節。它被用於指導使用者如何畫出正確的直角三角形,泥板上頭寫有三組畢氏三元數(Pythagorean triples),分別為3、4、5,8、15、17及5、12、13。

Jean-Vincent Scheil其實在1895年便將這塊泥板的資訊發表,但當時Si.427的手繪圖稿忽略了許多重要細節。1973年荷蘭萊登大學亞述學教授Klass Veenhof曾根據1895年的圖稿發表過一份腳註,指出Si.427泥板是一份數學問題文本,詳述泥板上所刻劃的田地分為十一個區塊,同時認為對其內容的進一步理解需要更清晰的新照片。後續研究顯示Si.427泥板是Sîn-bēl-apli此人所屬土地的買賣地籍調查,土地最初面積約25英畝,在買賣後減少6英畝。楔形文字顯示土地約16英畝的水草甸區域特別重要。儘管Si.427泥板上的草圖並沒有標明水草甸區域與出售區域,但可從草圖進行推測實際位置。這塊泥板的背面寫有數字表,顯然為土地面積的計算結果。顯然地,這塊土地曾丈量過兩次,第一次是水平對齊的部分,第二次則是垂直對齊的部分。

Mansfield博士表示,世人一般認為畢氏定理是由希臘人在公元前五世紀研究天文時所發明的,但Si.427泥板說明在更早的一千多年前巴比倫人便已應用了原始的三角學來解決地表上的問題。儘管該泥板並未以現代所熟悉的代數方式表示畢氏定理,但所刻劃的內容顯示當時的巴比倫人已懂得直角三角形兩條邊長和斜邊之間的相互關係。

2017年時,Mansfield博士也曾懷疑過另一塊楔形文字泥板Plimpton 322上頭顯示著三角元素數字表,但直到檢視過Si.427泥板上頭的三元數數組後才確認這項發現。Si.427與Plimpton 322泥板大約同期,但年代稍早。Mansfield博士表示,在所有直角三角形三元數的數組中,由於巴比倫為六十進位體系,因此巴比倫人僅能應用非常少的數組,Plimpton 322泥板便是被用於系統性地研究直角三角形三元數的數組。

Si.427泥板說明了當時的巴比倫已是土地私有化的社會,人們有著劃分土地界線的需求,以和鄰居維持人際關係。Si.427上頭並沒有明載為何需要重新丈量土地界線,但楔形文字指出知名人士Sîn-bēl-apli和一位富有的女性地主財產邊界上的棗椰樹糾紛。

儘管Si.427泥板的年代與畢達哥拉斯教導學生畢氏定理的時間相差了一千多年,但專家們其實也理解希臘人的數學智慧其實應來自於古埃及,而古埃及的智慧也傳承自巴比倫。對Mansfield博士而言,Si.427泥板特別之處在於凸顯古巴比倫人使用畢氏定理的複雜程度,且是為解決實際問題而發展出純數學。

 

參考資料:

1.2021 08. 04 University of New South Wales, Australian mathematician reveals world’s oldest example of applied geometry, EurekAlert
2.Wikipedia: Si.427 
3.2021 08. 07 Ben Turner, Babylonians used Pythagorean theorem 1,000 years before it was 'invented' in ancient Greece, LiveScience

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