質數間的有界距離──庾信平生最蕭瑟,暮年詩賦動江關

華裔數學家張益唐博士於2013年證明了孿生質數猜想的弱化形式,即「差距小於七千萬的質數有無限多對」。他的人生故事也堪稱傳奇,原本半生潦倒,竟以58歲之齡突破古老的數論難題而舉世聞名。

撰文/顏安

●一鳴驚人的論文

2013年4月17日,美國普林斯頓大學主辦的《數學年刊》收到一份稿件,題名〈質數間的有界距離〉。作者是默默無名的數學講師,卻宣稱已撞破一道數論領域的厚牆,審稿人起先直覺「不可能做到」,卻漸漸發現「極有可能是正確的」,最終迅速發表,成為轟動學界的名作。《數學年刊》是數學界聲望最高的期刊,以2013年為例,共收到915篇投稿,僅37篇通過審核,不但標準嚴格,而且審稿期間通常要花一年以上。這次是創刊一百多年來最快的紀錄,只花了一個月的時間就通過審核。

圖1:論文〈質數間的有界距離〉首頁,簡潔漂亮。

作者是新罕布夏大學數學與統計系講師張益唐,他開宗名義宣稱已證明:當趨近無窮大時,相鄰質數的間隙小於七千萬。換句話說:差距小於七千萬的質數有無限多對。這個問題屬於「純數學」領域中「數論」的範疇。所謂純數學是相對於應用數學而言,是一門不以應用為目的的學問,既美麗而抽象,類似於藝術或哲學。研究數論的專家們通常像是在霧裡摸索前行,往往什麼也看不清,不知該往哪個方向走。具體的工作有點像實驗科學,拿各種數來試驗,看能不能試出什麼結果。

●孿生質數猜想

質數(也稱素數)是大於1的自然數中,只有1與該數本身兩個正因數的數。例如5是個質數,因為它只有1和5這兩個正因數;而6不是質數,因為除了1和6之外,2和3也是它的正因數。古希臘數學家歐幾里德早在西元前三百年便已證明質數有無限多個,那麼這無限多個質數如何分布?整數1到100之中有25個質數(占25%),1到1,000之中有168個質數(占17%),1到1,000,000之中有78,498個質數(占8%),隨著數字愈大,質數分布得愈來愈稀疏。

關於質數分布,數學家做過許多重要的猜想,內容簡單漂亮,中學生都能理解,但是證明卻極為困難。其中一個著名的問題就是「孿生質數猜想」。所謂孿生質數指的是差距正好是2的一對質數,例如3和5、5和7、137和139都是孿生質數。趨近無窮大時,質數有變稀少的趨勢,這是毫無疑問的;問題是當趨近無窮大時,還能不能找到孿生質數?數學家「猜想」能找到,換句話說:存在無限多對孿生質數。然而,這件事至今未能被證明。

張益唐證明了孿生質數猜想的弱化形式,即當趨近無窮大時,能找到一對質數,它們之間的差不一定等於2,但可以確定是有界的(小於七千萬)。與無窮大比起來,七千萬和2的差距微不足道,這個成果雖然還沒有解決孿生質數猜想,卻是里程碑式的重大突破。彷彿外圍的厚牆已經倒下,數學家們隨後繼續朝更小的界限逼近,現在七千萬已經減少到246,有朝一日若能達到2這個最終目標,便證明了孿生質數猜想。

●從連鎖快餐店會計到舉世聞名的數學家

張益唐生長於中國,曾經因文化大革命而耽誤了學業,大學畢業時已經27歲,30歲碩士畢業後赴美進修,36歲取得普渡大學的數學博士。博士畢業後,他漂泊於美國各地,一直沒有穩定的職位,曾在賣潛艇堡的快餐店Subway工作多年。直到44歲時才在朋友的介紹下獲聘為新罕布夏大學講師,重返學術圈;58歲發表〈質數間的有界距離〉,不僅引起學界重視,其富有傳奇色彩的人生經歷也受到各大媒體報導,一舉成為世界知名的數學家。

圖2:張益唐2015年起任聖塔芭芭拉加州大學數學系教授,圖為教員資料照片。

張益唐在沉潛期間從未放棄研究數學,真正實踐了自己所秉持的淡泊名利、默默耕耘的信念,一個人悶聲做出非凡的成就。成名之後,他仍表現得很淡定,繼續專心做學問,曾以杜甫詩句「庾信平生最蕭瑟,暮年詩賦動江關」來形容自己的心境。張益唐的故事可以總結出三個成功的祕訣:一是保持好奇心而堅持不懈,二是培養扎實的基本功,三是有氣魄和膽量做大問題。

 

參考資料:
1. Zhang, Yitang. “Bounded gaps between primes.” Annals of Mathematics. 2014.
2.Wilkinson, Alec. “The Pursuit of Beauty.” The New Yorker. February 2, 2015.
3.張益唐演講紀錄(2016年7月2日中央研究院院士講座、2019年6月28日蘇州大學東吳大師講壇)

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