質數間的有界距離──庾信平生最蕭瑟，暮年詩賦動江關

華裔數學家張益唐博士於2013年證明了孿生質數猜想的弱化形式，即「差距小於七千萬的質數有無限多對」。他的人生故事也堪稱傳奇，原本半生潦倒，竟以58歲之齡突破古老的數論難題而舉世聞名。

撰文／顏安

●一鳴驚人的論文

2013年4月17日，美國普林斯頓大學主辦的《數學年刊》收到一份稿件，題名〈質數間的有界距離〉。作者是默默無名的數學講師，卻宣稱已撞破一道數論領域的厚牆，審稿人起先直覺「不可能做到」，卻漸漸發現「極有可能是正確的」，最終迅速發表，成為轟動學界的名作。《數學年刊》是數學界聲望最高的期刊，以2013年為例，共收到915篇投稿，僅37篇通過審核，不但標準嚴格，而且審稿期間通常要花一年以上。這次是創刊一百多年來最快的紀錄，只花了一個月的時間就通過審核。

作者是新罕布夏大學數學與統計系講師張益唐，他開宗名義宣稱已證明：當趨近無窮大時，相鄰質數的間隙小於七千萬。換句話說：差距小於七千萬的質數有無限多對。這個問題屬於「純數學」領域中「數論」的範疇。所謂純數學是相對於應用數學而言，是一門不以應用為目的的學問，既美麗而抽象，類似於藝術或哲學。研究數論的專家們通常像是在霧裡摸索前行，往往什麼也看不清，不知該往哪個方向走。具體的工作有點像實驗科學，拿各種數來試驗，看能不能試出什麼結果。

●孿生質數猜想

質數（也稱素數）是大於1的自然數中，只有1與該數本身兩個正因數的數。例如5是個質數，因為它只有1和5這兩個正因數；而6不是質數，因為除了1和6之外，2和3也是它的正因數。古希臘數學家歐幾里德早在西元前三百年便已證明質數有無限多個，那麼這無限多個質數如何分布？整數1到100之中有25個質數（占25%），1到1,000之中有168個質數（占17%），1到1,000,000之中有78,498個質數（占8%），隨著數字愈大，質數分布得愈來愈稀疏。

關於質數分布，數學家做過許多重要的猜想，內容簡單漂亮，中學生都能理解，但是證明卻極為困難。其中一個著名的問題就是「孿生質數猜想」。所謂孿生質數指的是差距正好是2的一對質數，例如3和5、5和7、137和139都是孿生質數。趨近無窮大時，質數有變稀少的趨勢，這是毫無疑問的；問題是當趨近無窮大時，還能不能找到孿生質數？數學家「猜想」能找到，換句話說：存在無限多對孿生質數。然而，這件事至今未能被證明。

張益唐證明了孿生質數猜想的弱化形式，即當趨近無窮大時，能找到一對質數，它們之間的差不一定等於2，但可以確定是有界的（小於七千萬）。與無窮大比起來，七千萬和2的差距微不足道，這個成果雖然還沒有解決孿生質數猜想，卻是里程碑式的重大突破。彷彿外圍的厚牆已經倒下，數學家們隨後繼續朝更小的界限逼近，現在七千萬已經減少到246，有朝一日若能達到2這個最終目標，便證明了孿生質數猜想。

●從連鎖快餐店會計到舉世聞名的數學家

張益唐生長於中國，曾經因文化大革命而耽誤了學業，大學畢業時已經27歲，30歲碩士畢業後赴美進修，36歲取得普渡大學的數學博士。博士畢業後，他漂泊於美國各地，一直沒有穩定的職位，曾在賣潛艇堡的快餐店Subway工作多年。直到44歲時才在朋友的介紹下獲聘為新罕布夏大學講師，重返學術圈；58歲發表〈質數間的有界距離〉，不僅引起學界重視，其富有傳奇色彩的人生經歷也受到各大媒體報導，一舉成為世界知名的數學家。

張益唐在沉潛期間從未放棄研究數學，真正實踐了自己所秉持的淡泊名利、默默耕耘的信念，一個人悶聲做出非凡的成就。成名之後，他仍表現得很淡定，繼續專心做學問，曾以杜甫詩句「庾信平生最蕭瑟，暮年詩賦動江關」來形容自己的心境。張益唐的故事可以總結出三個成功的祕訣：一是保持好奇心而堅持不懈，二是培養扎實的基本功，三是有氣魄和膽量做大問題。

參考資料：
1. Zhang, Yitang. “Bounded gaps between primes.” Annals of Mathematics. 2014.
2.Wilkinson, Alec. “The Pursuit of Beauty.” The New Yorker. February 2, 2015.
3.張益唐演講紀錄（2016年7月2日中央研究院院士講座、2019年6月28日蘇州大學東吳大師講壇）