對數的奇妙準則 & 伽羅瓦的故事

<對數的奇妙準則>

■法國數學家拉普拉斯曾說過:「對數的發明為天文學家節省了不少勞力,讓他們的壽命延長了一倍。」對數究竟具有什麼神奇的力量,能夠拯救天文學家於水火之中?

講師|臺北市立西松高中數學科教師 蘇惠玉
整理撰文|高英哲

自古以來,繁重的計算工作就是天文學家的夢魘,這點從公元前 150 年,托勒密主持的埃及亞歷山大城天文台,貼出的徵聘廣告可見一斑:「急需計算工作者,從事繁重的例行計算,以編製天文學主要工作所需表格。包吃包住,外加未來 1200 年,成千上萬將利用到這張表格的人們感激之情。」舉凡哥白尼計算行星軌道,克卜勒推算行星運動定律,麥哲倫觀測天象計算探險航線,麥卡托斯用圓柱投影法繪製世界地圖,都需要用上三角函數,進行大量乘法、除法、以及開方等等「繁重的例行計算」。

蘇格蘭數學家納皮爾 (John Napier) 有鑒於這些大量的乘除開方計算,不但枯燥乏味,耗費大量時間,而且容易出錯,因此試著找出能夠把這些運算過程,轉換成加減運算的方式,藉此簡化運算過程。他從這個方向潛心鑽研,從三角函數「積化和差」,把兩個角度的正弦相乘關係,轉化成餘弦角度加減關係的定理,以及等差數列與等比數列的對應關係,逐步建構出「對數」的概念。

納皮爾在《奇妙的對數規律的描述》 (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio) 這本著作中,提出對數的概念。當時數學還沒有分數次方的概念,為了解決非整數次方運算上的問題,納皮爾在推算非整數次方時,選擇足夠小的底,並且避免使用小數。這麼短短幾句話,納皮爾整整推算了二十年,整理出三張表格,構成對數表的基礎。

為對數的發展完成最後一哩路的,是任教於倫敦格雷莎姆學院的布里格斯 (Henry Briggs) ,他發現如果把整個正弦的對數值設為 0 ,也就是以 10 為底,整體運算會方便很多,因此親自拜訪納皮爾,表達他的看法。納皮爾同意他的看法,但由於年事已高,無力完成新的對數表建構工作,因此就由布里格斯接手後續工作。布里格斯在《對數算數》 (Arithmetica Logarithmica) 這本著作中,明定 log 1 = 0 , log 10 = 1 ,並精算到小數點後第 14 位,成為我們今日熟知的對數表。數學知識是人類的活動,而數學家彼此之間的交流,令數學更臻完美。

 

<伽羅瓦的故事>

■納皮爾花了二十年的歲月建構對數表,伽羅瓦的人生則僅僅活了二十年,但他卻為代數學留下了伽羅瓦理論這項不朽的遺產,回答了「方程式在什麼情況下可以用代數方法求解」這個重要的問題。

講師|臺北市立成功高中數學科教師 陳彥宏
整理撰文|高英哲

要說明伽羅瓦在數學上的貢獻,可以從每個中學生都非常熟悉的二次方程式談起。我們都知道二次方程式有公式解,早在西元第九世紀時,波斯數學家花拉子米 (Al-Khwarizmi) 就在其著作《代數學》中,首度提出二次方程式的一般解法。三次方程式公式解則是一直到了十六世紀,才由義大利博學者卡爾達諾 (Girolamo Cardano) 在其著作《大術》 (Ars Magna) 裡提出,他的弟子費拉里 (Lodovico de Ferrari) 整理出四次方程式公式解。挪威數學家阿貝爾 (Niels Henrik Abel) 在十九世紀初,找出五次方程式的公式解時,已經發現不能僅就方程式各項的係數,做加減乘除跟開方的運算,得出方程式的解。

同一時期在法國當大學生的伽羅瓦,正在研讀拉格朗日的《關於代數方程式的解》等著作,他針對這個題目寫了論文,三次投稿嘗試發表。但是他的學術之路運氣有夠差,第一次負責審查的柯西,不小心把把論文搞丟了;第二次負責審查的傅立葉沒多久就過世了,論文也跟著不翼而飛;第三次負責審查的布阿松,則覺得他的論文「連話都講不清楚,以致於無法判斷論證是否縝密」。即使在伽羅瓦因為不明原因,年僅二十就與人決鬥負傷而死之後,他的弟弟把論文再寄給高斯等等數學家,同樣沒有下文;若不是數學家劉維爾 (Joseph Liouville) 費盡心力,看懂了他第三次提交的論文,並在 1846 年發表論文解說,伽羅瓦的貢獻可能就要淹沒在時間的潮流當中了。

如今被稱為「伽羅瓦理論」的這套想法,是以群論討論方程式的可能性,系統化地解釋了為何五次以上的方程式沒有根式解,成為當代代數與數論的重要基石。同時他也解決了三大作圖問題中的其中兩個,「不能任意三等分角」以及「倍立方不可能」。雖然伽羅瓦不擅言辭,拙於表達又英年早逝,但這終究不妨礙他在數學發展史上,得到遲來的認可。

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