【大宇宙小故事】50 霧裡看花

撰文｜葉李華

「我們明明能用雲霧室觀察到電子的軌跡，你卻拒絕相信氫原子中有電子軌道，我很好奇你怎麼會有這種古怪的想法。」──愛因斯坦(1926)

將水蒸氣注入封閉容器，用降溫的方式讓蒸氣達到「過飽和」，此時若有帶電粒子射入容器，便會將許多水分子撞成離子。這些離子會扮演凝結核的角色，使得周圍的蒸氣凝結成霧，因而顯現出粒子的行進軌跡。這就是所謂的雲霧室(cloud chamber)，發明人是英國物理學家威爾遜(Charles Wilson, 1869-1959)，因此也稱為威爾遜雲霧室。

二十世紀前半葉，雲霧室對物理學的進展有過重大貢獻，例如電子的反粒子(正子)就是在雲霧室首度現蹤，時間是1932年。而在五年之前，這個裝置還立下一樁意外的功勞，那就是促成「測不準原理」(Uncertainty principle)的誕生。這個名詞譯為「不確定性原理」或許更貼切，但在白話的層次，前者較能發揮顧名思義的效果。

話說1926年最後兩三個月，在哥本哈根大學(如今的)波耳研究所，波耳和海森堡兩人展開密集討論，對量子力學的現況做了通盤檢討。在他們討論的眾多問題中，最有代表性的(恰好也是最通俗易懂的)就是雲霧室裡的電子軌跡。

這些軌跡是千真萬確的實驗結果，然而弔詭的是，無論海森堡自己的矩陣力學，或是敵對陣營的波動力學，當時都無法做出合理的解釋。矩陣力學中並沒有軌跡之類的概念，根本無從描述；波動力學把電子視為一團「波包」，卻無法解釋它為何能前進一大段距離而不潰散。

由於波耳全家和海森堡都住在研究所裡，師徒倆經常挑燈夜戰，討論到凌晨一兩點是家常便飯。如此日復一日，到了次年初，兩人都有點受不了了。二月中旬，為了暫停這場馬拉松，波耳索性離開哥本哈根，去挪威的滑雪勝地隱居數週。這段時間海森堡雖然哪兒也沒去，但既然老板不在身邊，他在心情上也和休假無異。至少，現在他能完全按照自己的思路探討這個問題，不必再顧慮波耳的想法。

短短幾天後，海森堡就有了重大進展。具體日期雖不可考，但一定早於2月23日。那天深夜，他忽然想起去年春天和愛因斯坦的一段對話：「我們明明能用雲霧室觀察到電子的軌跡，你卻拒絕相信……」但這次特別響亮的字句，不再是愛因斯坦的逼問，而是他後來苦口婆心的叮嚀：「你能觀測到什麼，其實是由你的理論決定。」

海森堡彷彿抓到一絲飄忽的靈感，為了乘勝追擊，他走出研究所，來到附近的公園一邊散步一邊沉思。走著走著，他果然想通了關鍵：如果電子真有軌跡，也應該和「雲霧室中的軌跡」大相逕庭。

或許我們可以這麼比喻，前者接近一條完美的數學直線，後者則是用粉筆在黑板上畫出的粗糙複製品。說得更精確些，雲霧室中的軌跡本質上是一串水滴，每滴都比電子大了無數倍！

之前海森堡絞盡腦汁，設法用矩陣力學產生完美的直線，現在他明白那是不切實際、甚至不可能的事。事實上，只要能夠產生「粉筆畫出的直線」，就等於在雲霧室實驗和量子力學之間搭起一座橋樑。

海森堡繼續想下去，既然「絕對精確」沒有必要也不可能，或許應該把問題修正一下，改為要求「相對精確」即可。換句話說，只要讓電子的位置和速度有個大致的精確範圍，應該就能反映現實了。當然，這個範圍不能太大，因為電子在雲霧室中還是有「跡」可循，而不是亂跑一通。

這樣的要求，矩陣力學做得到嗎？

海森堡趕緊回到研究所，拿起紙筆進行計算。不一會兒，他便發現從矩陣力學出發，的確能夠導出所需要的數學結果。

這個結果就是著名的測不準關係式：位置不準度和動量不準度的乘積大約等於普朗克常數(△q*△p~h)，白話解讀則是：一個粒子(在某個方向上)的位置和動量不可能同時測量得無限精準。

這個關係式剛好符合海森堡的兩項需求：(1)讓電子的位置和速度有個大致的精確範圍(因為速度就是動量除以質量)；(2)這個範圍並不大(因為普朗克常數很小，請參考〈有沒有故事(上)〉)。

必須強調的是，△q*△p~h只是一維空間的關係式(可將q視為x方向的位置，而p是這個方向的動量)，但推廣到其他兩維(y, z)是天經地義的事。不過海森堡並不以此為滿足，他還大膽地將它推廣到第四維，也就是時間。而根據狹義相對論，第四維動量就是能量，於是他立刻得到△t*△E~h這個結果，意味著一個粒子的時間和能量也不可能同時測量得無限精準。

因此我們可以說，測不準關係在時空之中無所不在！千萬別以為這個結果令人沮喪，其實它具有非常積極的意義：在這個不再明確的四維時空中，海森堡看見一幅朦朧的量子圖像。如果這麼說太朦朧，我們大可換個方式：在此之前，海森堡對薛丁格的量子圖像總是嗤之以鼻，現在他自己居然找到折衷之道，那就是以「模糊的圖像」取代「清晰的圖像」。

順著這個思路，海森堡大約花了兩週時間，寫成一篇博大精深的論文〈量子運動學與動力學的直觀內涵〉。當波耳仍在挪威滑雪時，論文初稿已經順利出爐。

這篇論文雖以測不準原理為主軸，實際上內容洋洋灑灑，甚至可說將量子力學的重要概念一網打盡。以下舉其瑩瑩大者，盡量以科普語言做個介紹：

一、包括題目在內，直觀(Anschaulichen)這個詞頻頻出現。追本溯源，這或許是因為薛丁格曾在論文中批評海森堡的理論欠缺直觀圖像(Anschaulichkeit)──這兩個德文顯而易見同出一源，它是個哲學名詞(Anschauung)，中文通常譯為「直覺」或「直觀」。

如前所述，在測不準原理這個前提下，海森堡不再和量子圖像勢不兩立，只要圖像並非絕對清晰即可。既然有了圖像，直觀或直覺當然能派上用場，這可算是海森堡的重大讓步，但他自己也是受惠者，他的理論因而變得平易近人許多。

二、另一方面，海森堡仍將薛丁格當成對手，在論文中至少做了兩點尖銳的回應。其中之一比較直接，那就是一針見血地指出「波包理論」並不正確。

薛丁格曾在〈從微觀力學到巨觀力學的連續變遷〉這篇論文中，利用簡諧振盪示範波包能表現得酷似粒子。針對這點，海森堡毫不客氣地批判對手以偏概全──穩定的波包只存在於簡諧振盪系統，如果換成其他例子，例如上述的自由電子，或是氫原子內，波包就不可能永遠保持原狀。

三、海森堡對薛丁格的另一項回應，牽涉到了雙方陣營最大的歧見──電子轉換能階的機制。波耳這一派堅信它是不連續的過程，因此稱之為量子躍遷或量子跳躍(quantum jump; quantum leap)，薛丁格則誓死反對這種觀點。

根據薛丁格的推論，「躍遷」和「時間」是彼此無法相容的概念；不論躍遷是瞬間完成，抑或需要一段時間，他都有辦法找出物理上的矛盾。乍看之下，至少就邏輯而言，薛丁格已經立於不敗之地。

然而，海森堡卻巧妙利用第四組測不準關係(△t*△E~h)反敗為勝：如果能階可以測得很準，時間就不可能準確測量出來，這時拿時間作文章是毫無意義的事。如此四兩撥千斤，便將薛丁格的詭論化解於無形。

四、玻恩雖然導出pq-qp=h/2πi這個重要公式(請參考〈海姑蘭之夜〉註二)，並曾示範如何從中算出量子化的能階，卻未能進一步說明其中的物理意義。海森堡則明確指出這個公式和△q*△p~h關係密切，意味著測不準原理就是它的物理意義(之一)。

五、此外，海森堡還站在玻恩肩膀上，將波函數的機率解釋發揚光大，提出了最原始的「波函數塌縮」概念。但由於這點牽扯太廣，將來有機會我們再好好討論。

六、這篇論文的結論也頗值得一提：「因為所有的物理實驗，追根究柢都受到量子力學控制……因此量子力學斬釘截鐵地否定了因果律。」海森堡以無比堅定的口吻，敲響了因果律的喪鐘，這無異於預告一場物理革命的來臨。

不過論文並未就此結束，在正式刊出之前，海森堡及時在後面加上一個附錄，針對一些疏漏做出更正，並且特別銘謝波耳的指正與寶貴意見。然而那幾句話過於客套，並未忠實呈現背後的辛酸，至於詳情如何，當然是另一個故事了。