中國古算經涉及動物的算題
甲骨文與數學之間有什麼關係呢？數學史大師洪萬生老師在閱讀了〈甲骨文與金文〉專欄後便開始思考，或許可以介紹中國古算文本涉及的算題。像是「誰發明了代數學？」「誰發明了微積分？」等等，也很容易引發一般人的好奇心。因此，出土甲骨文若蘊含有史料可以連結到數學知識活動，那麼，它們一定可以豐富我們對於中國古算輪廓的理解。而本篇文章，是洪萬生老師在擔任「甲骨文裡的動物與牠們的產地」活動的與談人後，以文章的方式補充在活動當中來不及說完的，中國古算經中隱藏的數學故事。
撰文｜臺灣師範大學數學系 洪萬生 退休教授
前 言
西元2025年5月17日，江柏毅博士在臺灣大學科學教育中心舉行新書發表會，在這本《從考古看甲骨》中，他以野生動物為例，試圖「重建」文字裡的古代中國風貌。
我有幸應邀參加這個新書發表會的其中一位與談人。為此，我才開始思考或許可以介紹中國古算文本涉及的算題，至少權充「斜槓」的一種興味。當然，更確切的動機則出自江柏毅的「逐鹿中原」之說。不過，相關史料實在極為有限，我只好「混充」其他動物（但幾乎都不是野生），再輔以相關算題的設計（佈題problem posing）特性，讓讀者覺得不無收穫。
江柏毅的專欄《甲骨文與金文》引起我的興趣（必須感謝CASE「報科學」的平台），主要是因為在數學史的專業中，數學概念的「命名」與「演化」常涉及語源學（etymology）的應用，而這種與起源（genesis）有關的「題／提問」，譬如，「誰發明了代數學？」「誰發明了微積分？」等等，也很容易引發一般人的好奇心。因此，出土甲骨文若蘊含有史料可以連結到數學知識活動，那麼，它們一定可以豐富我們對於中國古算輪廓的理解。
西元2013年，我曾與HPM伙伴一起出版《數說新語》（註一），企圖在一些吾人習焉而不察，如「零」、「分（數）」、「方面」等等日常用語上，說一點「另類的」故事（註二）。其中，當然也有甲骨文的文字證據，值得我們一起來探索其演化意義。
現在，由於江柏毅的大作提及前述的鹿，以及狐、狸、兔，鳥類等等動物，所以，我就從中國漢代、南北朝時代問世的算書——前者如《筭數書》及《九章算術》，後者如《孫子算經》與《張丘建算經》，考察其中算題如何「運用」這些動物來佈題。這些實作或場景 (scenario) 與考古學專業完全無關，在此謹聊供談助，請允許我讓數學史來「蹭一下」考古學，但還是非常希望對前者的提問有所啟發。
逐鹿中原
《從考古看甲骨》一開始吸引我注意的，莫過於其中那一篇〈爭天下為何叫「逐『鹿』中原」？〉，作者企圖澄清所謂的「逐鹿中原」之意義。該成語是出自司馬遷所說的「秦失其鹿，天下共逐之」的爭霸比喻，不過，更早已有此說問世。那麼為什麼是鹿呢？根據江柏毅的說明，「至遲在西周時期，周王與各諸侯國開始有以苑欲圈養鹿群之習」，因此，該比喻「選擇逐鹿純粹是因為那是時人熟悉的日常場景。」其實，該文附帶的幾個例子的說明也很有趣，譬如，「麤，行超遠也，从三鹿。」後來，此字假借為「粗」，顯然是取「群鹿奔跑跳躍」的意思。另外，「麤」的異體字「麄」則也是「粗」的意思，與「細」詞性相反。在注解分數相加（《九章算術》「合分術」）時，唐初李淳風及其團隊指出：「數非一端，分無定準，諸分子雜互，群母參差，麄（粗）細既殊，理難從一。」（註三)
現在再回來審視「逐鹿」。既然鹿是這麼有價值的動物，說不定古代中國算題中也會有些許線索遺留，聊供我們這些「好事者」馳騁想像，即使它只是象徵性的說法？基於此一構想，我們瀏覽漢唐之間的算書，結果在《孫子算經》與《張丘建算經》這兩部南北朝時代的文本中，我們有幸各自找到涉及（獵）鹿的算題。先是《孫子算經》卷下第29題：
今有百鹿入城，家取一鹿，不盡；又三家共一鹿，適盡。問：城中家幾何？
答曰：七十五家。
術曰：以盈不足取之。假令七十二家，鹿不盡四。令之九十家，鹿不足二十。置七十二於右上，盈四於右下。置九十於左上，不足二十於左下。為維乘之，所得并為實。并盈、不足為法。除之，即得。（註四）
還有，《張丘建算經》（約431-430 CE）卷下第1-2題：
第1題：
「今有甲、乙、丙、丁、戊五人共分五鹿。欲以六、五、四、三，二差之。問各得幾何？答曰：」（註五）（孔刻本補）甲得一鹿四分鹿之二，以得一鹿四分鹿之一，丙得一鹿，丁得四分鹿之三，戊得四分鹿之二。
第2題：
今有鹿直西走，馬獵追之，未及三十六步，鹿回直北走，馬俱斜逐之，走五十步，未及一十步，斜直射之，得鹿。若鹿不迴，馬獵追之，問幾何里而及之？答曰：三里。
這三個問題看起來都與「獵鹿」有關，其中第一題以獵鹿之分配回推城中獵戶數，第二題涉及獵鹿之按比例分配，至於第三題則是針對獵鹿逃竄路線，以便策馬以捕之。
上一段提及的這種「追逐」問題，也見諸於《九章算術》卷六「均輸章」，茲將其第14題引述如下：
今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。問犬不止，復行幾何步及之？答曰：一百七步七分步之一。
其實，本卷第12-13題也是追逐問題，題型相同，但題意中有「善行者」與「不善行者」互相追逐，故編輯在一起。不過，佈題是「模擬」獵犬追逐「野兔」的情境嗎？因為「家兔」（正如下文第四節將介紹的）直到西元1636年，才從南洋傳到泉州、樟州，再迅速北傳，顯然是極佳的經濟動物。（註六）
衰分問題
前引《張丘建算經》「五人共分五鹿」題，是典型的衰分問題（按比例分配）。這類問題早在漢簡《筭數書》就已經被編入第12題（按我們校勘的版本）：
狐出關 狐、狸、犬出關，租百一十一錢。犬謂狸、狸謂狐：而（爾）皮倍我，出租當倍哉。問出各幾何？
得曰：犬出十五錢七分六，狸出卅一錢分五，狐出六十三錢分三。
术（術）曰：令各相倍也并之七為法，以租各乘之為實，實如法得一。
同理，該竹簡第13題也是處理「狐出關」（題名）的租稅問題。《筭數書》這部竹簡是十分珍貴的文本（186 BCE），它出自湖北張家山一座漢墓，墓主可能是一位名叫張新的長吏（這是史家劉金華的推測），他本為秦吏，後投降西漢，隨葬的《曆譜》記錄了他一生的大事記。這部算書可能就是他訓練小吏的講義，其中保留許多表示斷句的鉤識記號「ㄥ」，在古竹簡算書中頗為罕見，可見算學句子的精確閱讀，自古以來就極為重要。
至於狐、狸、犬皮為何「出關」？這當然可能源自關外冬日嚴寒氣候的需求，不過，它們竟然成為算題的元素，需求量看來不在少數。不過，根據江柏毅的論述，甲骨文是否有「狐」與「狸」字是個大災問！（註七）這些小動物的皮何時出關時需課徵關稅？恐怕值得我們進一步探索。
上引題之計算涉及關稅的比例分配（「衰分」），這種提問也見諸於《九章算術》這部中國古算經典（約 100 CE）。譬如其卷三「衰分章」第2題：
今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗。羊主曰：「我羊食半牛。」馬主曰：「我馬食半牛。」今欲衰償之，問各出幾何？答曰：牛主出二斗八升七分升之四；馬主出一斗四升七分升之二；羊主出七升七分升之一。
就是相關算題，其特色正如前一題，都運用「對話」（甚至「擬人化」）方式來佈題。
接著，《孫子算經》卷下第29題，也是類似的算題：
今有三雞共啄粟一千一粒。雛啄一，母啄二，翁啄四。主責本粟。三雞主各償幾何？答曰：雞雛主一百四十三。雞母主二百八十六。雞翁主五百七十二。
其中，雛、母、翁之用詞，後來再度出現在稍晚問世的《張丘建算經》之中，請參考下一節提及的「百雞術」。
與家禽相關的算題
在我們所引述的這些算書中，南北朝時代的《孫子算經》（約400 CE）包括頗多的算題涉及動物。譬如其卷下第27題，作者顯然虛擬一種有六首四足的「獸」，及一種有四首二足的「禽」來佈題：
今有獸六首四足，禽四首二足。上有七十六首，下有四十六足。問：禽、獸各幾何？答曰：八獸，七禽。
至於其「題型」則類似第30題「雞兔同籠」問題：
今有雞、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雞、兔各幾何？答曰：雞二十一，兔一十二。
「雞兔同籠」是很多人幼年學習數學的共同回憶，不管甜蜜或辛酸（註八）。不過，江柏毅卻告訴我們：〈月亮裡的兔子原來不是小白兔！〉，還有，我們所養的家兔其實是很晚才現身。根據他的說明，「中國在明崇禎年間自南洋引進中國白兔 (Chinese White) 之前並沒有家兔，十七世紀三〇年代以前所有的兔子實際上都是無法馴化的曠兔屬 (Lepus) 曠兔。」如此，與雞關在一起的兔子絕非小白兔，而是無法馴化的曠兔（註九）。在第五世紀，中國算題中虛擬一籠家禽雞與野兔來佈題，不知佈題者是否曾經看到與雞打架的曠兔？
此外，《張丘建算經》還有第31題涉及魚類：「今有九里渠，三寸魚，頭頭相次，問魚得幾何？答曰：五萬四千。」第33題涉及禽鳥：「今有出門望見九隄。隄有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色。問各幾何？」（註十）
另一方面，稍晚於《孫子算經》的《張丘建算經》卷下第38題如下：
今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢買雞百隻。問雞翁、母、雛各幾何？
這個被稱為「百雞術」的問題，本質上涉及「不定解析」概念，綜合「輾轉相除」與「方程術」可以解決。它被認為流傳到印度及中亞，其中名詞被置換（譬如「雞」換成「水果」），但題型不變（註十一）。不過，中國人要一直到十九世紀中葉，清末數學家時曰淳在掌握了傳入的相關西算關鍵概念之後，才提出完整的解法（註十二）。
結 語
根據本文的敘說，我們可以發現：在它的早期發展過程中，數學的紀錄或物件，多半需要考古學或甲骨文的跡證，尤其在「造字初心」面向上，還有不少的提問空間。事實上，要不是江柏毅「提問」並試圖回答：「甲骨文裡的動物和它們的產地」，我也很難想像「古算經涉及動物的算題」之意義。不過，我們數學史這一邊可以回饋給考古學或甲骨文的，看起來極為有限。這是學科的本質限制，我們並不在意。無論如何，這些算題提供了極大的空間，允許我們想像古代學算的「佈題者」，如何運用日常生活中的動物，設計有趣的問題，傳遞給下一代的學習者。
註釋
註一：HPM是history and pedagogy of mathematics 的縮寫，既代表一個團體，也代表一個學門。可參考臺灣數學史教育學會網站。
註二：有關「數」的造字初心可參考蘇俊鴻，〈數目・數字・數碼〉。「數」是一個兼具形聲與會意的文字，金文此一文字，其形狀與小篆大致相同。在小篆中，它從「攴」（手指象形），「婁」聲。又，「婁」本作「空」解，如「數」之本義為「計」，那麼，由於「婁」的本義是「空」，計算時須心無雜念，才能專心致之，故數從婁聲。
註三：郭書春白話文翻譯如下：「合分，是因為分數不止一個，分數單位也不同一；諸分子互相錯雜，眾分母參差不齊；從道理說難以遵從其中一個數。」引郭書春，《九章算術譯注》，頁23。
註四：有關以「盈不足術」求解之說明，參考紀志剛，《《孫子算經》導讀》，頁44-47。
註五：依《算經十書》孔繼涵刻本補之。
註六：參考江柏毅，《從考古到甲骨》，頁217。
註七：江柏毅，〈名實不符、爭議不斷的「狐」、「狼」、「狸」與「貓」〉，載江柏毅，《從考古代甲骨》，頁176-189。
註八：有一位出身南洋的華人數學家，曾經回憶他幼年時解「雞兔同籠」的痛苦經驗，他說：雞，尤其是公雞（雞翁），不是很兇嗎？小白兔怎麼可能與它同關一籠？
註九：江柏毅注解指出：「全世界的兔科動物共有十一個屬，其中只有穴兔屬種才能被馴化成為家兔。中國的野兔共有八個種，但都是曠兔屬種。」江柏毅，〈月亮裡的兔子原來不是小白兔！〉，《從考古看甲骨》，頁217。
註十：西方數學史的一個案例（算題以詩句表達，首句是「當我走到聖伊維斯時」），出自斐波那契 (Fibonacci) 的《計算書》，不過，其因子改成7。參考奔特等，《數學起源》，頁49。
註十一：印度數學史可參考洪萬生主編、英家銘協編，《數之軌跡》第II輯，第1章。
註十二：時曰淳傳可參考《清史稿》卷507。
參考文獻
- 江柏毅 (2025)，《從考古看甲骨》，臺北：貓頭鷹出版社。
- 洪萬生、林倉億、蘇惠玉、蘇俊鴻 (2006)，《數之起源》，臺北：臺灣商務印書館。
- 洪萬生、蘇惠玉、蘇俊鴻、郭慶章 (2013)，《數說新語》，臺北：開學文化出版社。
- 洪萬生主編、英家銘協編 (2024)，《數之軌跡》第II輯，臺北：三民書局出版社。
- 紀志剛主編 (1999)，《孫子算經、張丘建算經、夏侯陽算經導讀》，武漢：湖北教育出版社。
- 奔特等 (Bunt et. al.,)(2019)，《數學起源》(The Historical Roots of Elementary Mathematics)，黃美倫、林美杏、邱佩瑜、王瑜君、黃俊瑋、劉雅茵等中譯，臺北：五南出版社。
- 郭書春、劉鈍點校 (2001)，《算經十書》，臺北：九章出版社。
- 郭書春 (2010)，《九章算術譯注》，上海：上海古籍出版社。
- 蘇俊鴻 (2014)，〈數目．數字．數碼〉，載洪萬生等，《數說新語》（臺北：開學文化出版社），頁39-44。
- 劉金華 (2009)，《張家山漢簡《算數書》研究》，香港：華夏文化藝術出版社。
§編輯的話§
「甲骨文裡的動物與牠們的產地」是CASE報科學專欄〈甲骨文與金文〉作者江柏毅老師的著作《從考古看甲骨：文字裡的古代中國（野生動物篇）》的新書發表會，感謝數學史大師洪萬生老師接受我們的邀請，前來擔任活動的與談人，並在活動結束之後，非常費心地撰寫了這篇文章，補充活動當天未分享的數學史故事。洪萬生老師與HPM夥伴們長期關注數學教育，也前後撰寫了不少書籍、文章在訴說數學史的故事，有興趣的朋友一定要去翻翻看這些經典的作品。