【科學史日誌】1675年10月:萊布尼玆 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 的原始「積分」構想

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1675年10月:萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 的原始「積分」構想

文|蕭如珀、楊信男(臺灣大學物理學系)

萊布尼茲 (Gottfired Wihelm Leibniz)|來源:Wikimedia Commons

自然界的現象幾乎都是動態的,也就是說它們都是隨時在變動,變動的快慢,即變化率或速率,是動態現象的主要特徵,微積分的發明提供了計算速率的最佳數學工具,所以微積分出現之後,定量的科學發展神速。微積分的發展,主要歸功於牛頓和萊布尼玆。現代微積分的教學,主要遵循當年牛頓的思路,從引入無窮小、極限的觀念定義微分,再由反微分定義積分。但史上公認的另一位微積分發明人——萊布尼玆,則從考慮數列求和而建構出積分,之後才以反積分引入微分。他的原始思路比較少為人知,值得介紹1

萊布尼玆早在他於1666年完成的博士論文,《論組合術》(de artecombinatoria) 中就對數列做了研究。

萊氏對任一個數列做了以下的操作:首先對數列中的二個相鄰數字相減,得到一個新的數列,稱之為一次差數列。其次再對一次差數列中的二個相鄰數字相減,得到只一個新的數列,稱之為二次差數列,如此重覆下去。

以n2的數列為例,以上的操作會給出以下的結果:

而且一次差的和等於原數列的最後一個數,即:

1+3+5+7+9+11=36

萊氏進一步推廣到一個從0開始的一般數列f(n),f(0) = 0,

從(2)式,我們清楚可以看到一次差的和為f(n), 即:

數列3

所以萊氏推論說:

在任一首項為零的數列中,其一次差的總和一定等於其最後一項。    (4)

萊氏進一步從解析幾何角度如下推想:

然後萊氏採用omn. 表示「和」,因為拉丁文的和為omina. 所以如果以 l 表示dy,則 (4) 式的結果可以以下式表示:

接著萊氏問,omn. = ?. 萊氏的答案是 = 2/ 2. 萊氏的想法是這樣的:

考慮函數列 y = x,如圖一。

圖一

從圖一可以看出,當  越變越小時,

以上的結果 (5) 在萊氏 1673年以前的筆記就已出現。在1675 年 10月29日的筆記中2,萊氏如此寫下:

其中 a = 1, 主要是用以強調因次要一致。(6) 式中的符號上面的橫線 “-” 代表的意義為括號,即

以今日微積分的符號表示,(6) 式即為:

同樣地,萊氏也從以下的幾何推論中導出:

首先, (8) 式的左方 (l. h. s.) 為:

此即為下圖二中的垂直線標示區。

圖二

而 (8) 式的右方 (r. h. s.) 第一項為:

即為圖二中邊長為 和  的矩形面積。

(8) 式的右方 (r. h. s.) 第二項則為:

此即為圖二中的橫線標示區。

所以,(8) 式即表示矩形 OABC 減去圖二中的橫線標示區就是圖二中的垂直線標示區。

以今天的符號來說,(8) 式即為

(12) 式就是今日所稱的部份積分式。其原始式 (8) 首次由萊氏記載於其1675年10月29 日的手稿中2

萊式進一步在 (8) 式中的  以 取代,得到:

即:

在同一手稿中,萊氏決定以符號∫□取代omn.,(6) 式和 (13) 式即為:

和:

就以上陳述的構想來看,萊布尼玆的「積分」原始思路的是迥然不同於牛頓的。

參考文獻

  1. M. Kline, “Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times”, Oxford University Press, 1972.
  2. J. M. Child, “The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz”, translated from the Latin texts published by Carl Immanuel Gerhardt with critical and historical notes, The Open court publishing company, Chicago ; London, 1920.
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