【科學史日誌】1675年10月：萊布尼玆 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 的原始「積分」構想
1675年10月：萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 的原始「積分」構想
文｜蕭如珀、楊信男（臺灣大學物理學系）
自然界的現象幾乎都是動態的，也就是說它們都是隨時在變動，變動的快慢，即變化率或速率，是動態現象的主要特徵，微積分的發明提供了計算速率的最佳數學工具，所以微積分出現之後，定量的科學發展神速。微積分的發展，主要歸功於牛頓和萊布尼玆。現代微積分的教學，主要遵循當年牛頓的思路，從引入無窮小、極限的觀念定義微分，再由反微分定義積分。但史上公認的另一位微積分發明人——萊布尼玆，則從考慮數列求和而建構出積分，之後才以反積分引入微分。他的原始思路比較少為人知，值得介紹1。
萊布尼玆早在他於1666年完成的博士論文，《論組合術》(de artecombinatoria) 中就對數列做了研究。
萊氏對任一個數列做了以下的操作：首先對數列中的二個相鄰數字相減，得到一個新的數列，稱之為一次差數列。其次再對一次差數列中的二個相鄰數字相減，得到只一個新的數列，稱之為二次差數列，如此重覆下去。
以n2的數列為例，以上的操作會給出以下的結果：
而且一次差的和等於原數列的最後一個數，即：
1+3+5+7+9+11=36
萊氏進一步推廣到一個從0開始的一般數列f(n)，f(0) = 0,
從(2)式，我們清楚可以看到一次差的和為f(n), 即：
所以萊氏推論說：
在任一首項為零的數列中，其一次差的總和一定等於其最後一項。 (4)
萊氏進一步從解析幾何角度如下推想：
然後萊氏採用omn. 表示「和」，因為拉丁文的和為omina. 所以如果以 l 表示dy，則 (4) 式的結果可以以下式表示：
接著萊氏問，omn. = ?. 萊氏的答案是 = 2/ 2. 萊氏的想法是這樣的：
考慮函數列 y = x，如圖一。
從圖一可以看出，當 越變越小時，
以上的結果 (5) 在萊氏 1673年以前的筆記就已出現。在1675 年 10月29日的筆記中2，萊氏如此寫下：
其中 a = 1, 主要是用以強調因次要一致。(6) 式中的符號上面的橫線 “－” 代表的意義為括號，即
以今日微積分的符號表示，(6) 式即為：
同樣地，萊氏也從以下的幾何推論中導出：
首先， (8) 式的左方 (l. h. s.) 為：
此即為下圖二中的垂直線標示區。
而 (8) 式的右方 (r. h. s.) 第一項為：
即為圖二中邊長為 和 的矩形面積。
(8) 式的右方 (r. h. s.) 第二項則為：
此即為圖二中的橫線標示區。
所以，(8) 式即表示矩形 OABC 減去圖二中的橫線標示區就是圖二中的垂直線標示區。
以今天的符號來說，(8) 式即為
(12) 式就是今日所稱的部份積分式。其原始式 (8) 首次由萊氏記載於其1675年10月29 日的手稿中2。
萊式進一步在 (8) 式中的 以 取代，得到：
即：
在同一手稿中，萊氏決定以符號∫□取代omn.，(6) 式和 (13) 式即為：
和：
就以上陳述的構想來看，萊布尼玆的「積分」原始思路的是迥然不同於牛頓的。
參考文獻
- M. Kline, “Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times”, Oxford University Press, 1972.
- J. M. Child, “The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz”, translated from the Latin texts published by Carl Immanuel Gerhardt with critical and historical notes, The Open court publishing company, Chicago ; London, 1920.