【科學史日誌】1675年10月29日：萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 完成建構積分並引入積分符號

1675 年 10 月 29 日：萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 完成建構積分並引入積分符號

文｜蕭如珀、楊信男（臺灣大學物理學系）

 

 

博學的萊布尼茲，除了是位哲學家、科學家、外交家之外，更因發展出微積分，而在數學史上佔有重要的地位。

萊布尼茲於 1646年 7 月 1 日出生在德國萊比錫一個虔誠路德派的家庭，父親是萊比錫大學（Universität Leipzig）的倫理學教授，但在他六歲時去世，而由母親撫養長大。他七歲上小學，開始被允許進入他父親留下的圖書室，得以接觸到高等哲學和神學著作。由於那些書籍都是以拉丁文書寫，所以他十二歲前就已精通拉丁文。

1661 年復活節，年僅十四歲的萊布尼茲便進入萊比錫大學主修哲學、法律和數學，開始接觸到伽利略（Galileo Galilei）、培根（Francis Bacon）、霍布斯（Thomas Hobbes）、笛卡爾（René Descartes）等科學家的新思潮。他學習迅速，於 1665 年秋天前便陸續完成哲學學士、碩士和法律學士，但 1666 年他申請法學博士時，卻因年紀太小遭拒，他隨即離開家鄉，轉往紐倫堡附近的阿爾特多夫（Altdorf），以論文《論糾結案件》向阿爾特多夫大學申請博士學位。大學迅速通過他的申請，並主動提出要聘他為教授，但他沒有接受。

在紐倫堡期間，萊布尼茲認識了伯尹內布格男爵（J.C. Boyneburg），受到他的賞識及資助，男爵並介紹美茵茲（Mainz）教區主教兼選帝侯熊恩伯恩（Johann Schoenborn）給他認識。萊布尼茲於 1672 年 3 月銜主教之命，帶著外交和宗教任務赴巴黎，並希望順道可以認識更多的科學家。他初抵巴黎便結識惠更斯 （Christian Huygens，荷蘭物理學家，1629 -1695），在惠更斯的指導下，致力研習物理和數學。

男爵在 1672 年底過世，萊布尼茲頓失重要的贊助者，乃於 1673 年 1 月去倫敦尋求機會。他除了前往英國皇家學會，展示他未完成的計算機器之外，也拜訪知名科學家虎克（Robert Hooke）、波義耳（Robert Boyle）和數學家佩爾（John Pell）等人，但得到的評價都不高，未受重視。2 月中旬，又傳來選帝侯過世的消息，萊布尼茲於是即刻結束倫敦之行，趕回巴黎，不過皇家學會還是在 1673 年 4 月選他為會士。萊布尼茲此行並未見到牛頓，倒是結識了出版商，也是數學家的科林斯（John Collins）和皇家學會秘書長奧登布格（Henry Oldenburg），他們二人與牛頓熟識，而且熟悉英國學術界的動態。

倫敦之行讓萊布尼茲意識到他自己的數學知識不足，所以回到巴黎後，他再去求教惠更斯。惠更斯介紹他許多大師的著作，萊布尼茲也加倍努力學習，開始去了解無窮小的幾何意義，並在 1674 年以當時發表研究成果的方式之一，去信奧登布格，說明他的新成果。奧登布格回信說牛頓等人已找出相關問題的通用解決方法，且因為萊布尼茲沒有依原先承諾寄去完成的計算機器，所以皇家學會對他的印象沒有改善。

在巴黎苦讀數學的萊布尼茲終於綻放出創意的花朵。1675 年 10 月 29 日，他在手稿中^1,2引入符號 「∫」 ，即將拉丁文「summa」（英文「sum」，總和） 的第一個字母 「s」 拉長，以表示積分，並寫下∫x = x²/2, ∫x²= x³/3, ∫x ³= x⁴/4等。在這些式子中，萊布尼茲沒有寫x軸（橫軸）的間距 dx，因為當時他考慮的情況是數列，所以間距都是等於 1，即 dx = 1。 在同一手稿中他也寫下類部份積分法∫xdy = xy - ∫ydx 的關係式。

萊布尼茲於 1676 年 10 月接受漢諾威公爵的邀請，擔任他的圖書管理員以及法務理事。萊布尼茲於是離開巴黎，取道倫敦和荷蘭赴德國漢諾威（Hannover）。他離開巴黎後，就沒有再花太多時間在數學研究上，除了到各地旅行、訪問外，都一直待在漢諾威，直至過世。

1684 年 10 月萊布尼茲在他和哲學家孟克（Otto Menke）於1682 年共同創立的第一個德文數學及科學期刊《科學學報》（Acta Eruditorum, AE）中發表了他第一篇有關微積分的論文，引入微分 dx，並說明規則d(x+y) = dx + dy和d(xy) = xdy + ydx。

之後萊布尼茲又繼續在《科學學報》上發表幾篇有關微積分的論文，吸引了包括白努利（Bernoulli）家族中雅各布（Jakob Bernoulli）和約翰（Johann Bernoulli）兄弟等許多歐陸知名數學家的注意和推廣，而在歐陸地區廣泛被使用，大家都將微積分歸功於萊布尼茲。此情形終於引起有些數學家的反彈，因為他們知道牛頓早已完成微積分的工作，所以公開指責萊布尼茲剽竊，引發了激烈的爭論，甚至最後牛頓也捲入其中。1713 年 1 月，皇家學會在沒有徵詢萊布尼茲的辯詞之下，發表了幕後由會長牛頓執筆的學會報告，指出「我們認為牛頓先生是第一個發明者（指微積分）」，並在 1715 年 1、2 月正式刊登在《自然科學會報》（The Philosophical Transactions of the Royal Society）上，對萊布尼茲造成很大的打擊，讓他晚年一直陷在這個爭論泥沼中。

指控萊布尼茲剽竊牛頓的主要根據是，萊布尼茲在1676年底離開巴黎赴漢諾威借道倫敦時，科林斯曾讓萊布尼茲瀏覽他的書信文件，包括牛頓的一些微積分筆記，但萊布尼茲始終否認有看牛頓的微積分筆記。

整個爭論後來演變成英國與歐陸雙方數學界的意氣之爭，如約翰‧白努利便曾說，牛頓的研究可能是植基於萊布尼茲的成果，這些口水嚴重影響英國和歐陸的交流。雖然實際上是牛頓發展在先，但萊布尼茲的體系符號簡潔，使用方便，流傳廣泛，內容不斷豐富，促使往後近百年，歐陸在微積分的發展及應用上遙遙領先英國。

萊布尼茲引進今天一般普遍使用的微積分符號∫、d ，應該跟他對邏輯和符號的興趣有關。他一直希望建立一套通用的符號以供理性研究，做為建立人類各種知識及分析真理的基石，進而可以將推理簡化成一套思維代數。

在哲學方面，萊布尼茲是 17-18 世紀理性主義和理想主義的代表人物。他的著作遍及哲學、神學、倫理、政治、法律、歷史和語言學。他相信上帝存在，認為現實世界是上帝所能創造的可能世界中最好的一個。

萊布尼茲興趣廣泛，精力驚人，工作不倦，在物理和工藝方面，對運動動力學、液壓沖床、風車、潛水艇、抽水機及照明等的設計，多所著墨及貢獻。他也預先提出一些後來在機率論、生物、醫學、地質學和計算機科學中二進位計數系統的重要觀念。

跟牛頓一樣，萊布尼茲也終身未婚，晚年受困於痛風，一直臥病在床，直至 1716 年過世，享壽 70 歲，比牛頓少活 14 年——晚 3 年出生、早 11 年辭世。

 

 

參考文獻：

1. M. Kline, “Mathematical Thought from Ancient to Modern Times”, Oxford University Press, N.Y. 1972.
2. J.M. Child, “The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz”, The Open Court Publishing C0., Chicago, 1920.
3. Gottfried Wilhelm Leibniz, Brittanica, 2022.