【科學講古列車】數學與禮物交換──三次方程式與虛數的恩怨情仇

為什麼x²+1=0要有解?國中的時候，只需要在答案卷上寫個無解，就能讓我們考上高中。為什麼上高中之後，這個方程式就應該要有解?虛數又是什麼?在實際運用上很重要嗎?沒有虛數會怎麼樣?要了解這個問題，必須先從文藝復興說起……

講師：英家銘｜國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系助理教授

文藝復興是一場從14至17世紀的大規模文化運動，重新檢視古希臘時期的人文主義，使得歐洲各國在藝術、音樂、天文、數學、物理、醫學與文學等各方面都有極大的發展。商業行為也從簡單的以物易物，發展到初具今日貿易體系的雛型（例如信用狀、匯票、本票、貨幣換算以及利息計算等），「計算師傅」這種特殊的行業便是在這樣的情境下產生的，主要負責當時各種貿易上所需數學的計算。因為複利的出現，當時已經能解決特殊形態的三次以及四次方程式，但對於一般型態的方程式仍是束手無策。

15-16世紀的義大利，數學從業人員的階級大致可以分為三類：第一類是初階的數學應用（簿記員、工程石匠、土地測量技師），他們的社會地位遠低其他兩者；第二類是占星醫學士，他們在大學接受過博雅教學，除了醫學之外，也懂得天文以及占星；第三類則是位於金字塔頂端的宮廷數學家，他們不但被賦予絕對的權力，提出的學說也都被認為是權威，可說是菁英中的菁英。

雖然數學從業人員之間有著巨大的階級差異，但透過禮尚往來（以自己的新發明或新發現換取贊助或更好的升遷機會），也是能夠達到階級流動的目的。像是伽利略就是多次透過這種方式，而成為麥第奇家族繼承人的家庭教師。三次方程式的歷史與這項傳統有關。

由於當時決鬥（兩人公開詰問對方，答不出來的人落敗）的習俗，許多人聲稱找到了解法，卻都選擇不公諸於世，私藏起來作為攻擊對手的利器。在兩位數學家費奧與塔爾塔莉亞的一次決鬥中，塔爾塔莉亞透露出自己確實會解三次方程式。另一位數學家卡丹諾得知後，以利益交換的方式換得了解法，並在之後拜訪費羅並閱讀其論文，發現是費羅更早解出三次方程式。卡丹諾認為這項重大的發現應該為世人所知，因次便出版了《大技術》，在書中公開了三次方程式完整的一般形式解。塔爾塔莉亞賠了夫人又折兵，不僅解法被公開，社會地位沒有任何改變，而後人生唯一邁向菁英的機會也被另一位數學大師打敗。

邦貝利發現為了證明三次方程式有解，必須引入虛數的概念；後來維賽爾提出複數平面，賦予複數四則運算的幾何意義後，才讓數學家們開始接受並使用虛數。爾後在經濟學、工程數學與量子力學中，虛數更是無處不在。許多在一般數學中無解的難題，在引入虛數的概念後，便成了一條引領著數學家前進的道路。