數學與禮物交換──三次方程式與虛數的恩怨情仇

為什麼x2+1=0要有解?國中的時候,只需要在答案卷上寫個無解,就能讓我們考上高中。為什麼上高中之後,這個方程式就應該要有解?虛數又是什麼?在實際運用上很重要嗎?沒有虛數會怎麼樣?要了解這個問題,必須先從文藝復興說起……

講師:英家銘|國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系助理教授

文藝復興是一場從14至17世紀的大規模文化運動,重新檢視古希臘時期的人文主義,使得歐洲各國在藝術、音樂、天文、數學、物理、醫學與文學等各方面都有極大的發展。商業行為也從簡單的以物易物,發展到初具今日貿易體系的雛型(例如信用狀、匯票、本票、貨幣換算以及利息計算等),「計算師傅」這種特殊的行業便是在這樣的情境下產生的,主要負責當時各種貿易上所需數學的計算。因為複利的出現,當時已經能解決特殊形態的三次以及四次方程式,但對於一般型態的方程式仍是束手無策。

15-16世紀的義大利,數學從業人員的階級大致可以分為三類:第一類是初階的數學應用(簿記員、工程石匠、土地測量技師),他們的社會地位遠低其他兩者;第二類是占星醫學士,他們在大學接受過博雅教學,除了醫學之外,也懂得天文以及占星;第三類則是位於金字塔頂端的宮廷數學家,他們不但被賦予絕對的權力,提出的學說也都被認為是權威,可說是菁英中的菁英。

雖然數學從業人員之間有著巨大的階級差異,但透過禮尚往來(以自己的新發明或新發現換取贊助或更好的升遷機會),也是能夠達到階級流動的目的。像是伽利略就是多次透過這種方式,而成為麥第奇家族繼承人的家庭教師。三次方程式的歷史與這項傳統有關。

由於當時決鬥(兩人公開詰問對方,答不出來的人落敗)的習俗,許多人聲稱找到了解法,卻都選擇不公諸於世,私藏起來作為攻擊對手的利器。在兩位數學家費奧與塔爾塔莉亞的一次決鬥中,塔爾塔莉亞透露出自己確實會解三次方程式。另一位數學家卡丹諾得知後,以利益交換的方式換得了解法,並在之後拜訪費羅並閱讀其論文,發現是費羅更早解出三次方程式。卡丹諾認為這項重大的發現應該為世人所知,因次便出版了《大技術》,在書中公開了三次方程式完整的一般形式解。塔爾塔莉亞賠了夫人又折兵,不僅解法被公開,社會地位沒有任何改變,而後人生唯一邁向菁英的機會也被另一位數學大師打敗。

邦貝利發現為了證明三次方程式有解,必須引入虛數的概念;後來維賽爾提出複數平面,賦予複數四則運算的幾何意義後,才讓數學家們開始接受並使用虛數。爾後在經濟學、工程數學與量子力學中,虛數更是無處不在。許多在一般數學中無解的難題,在引入虛數的概念後,便成了一條引領著數學家前進的道路。

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