熱水降溫比較快?-- 彭巴效應的新線索(下)
在上篇文章中，我們介紹了彭巴效應是什麼，以及《自然》上，兩位加拿大物理學家Avinash Kumar與 John Bechhoefer對於這個未解之謎提出的新解釋。在他們的實驗設計中，利用了微小的玻璃珠來代替水分子，並藉由雷射光施力，研究玻璃珠的降溫過程。但是為甚麼玻璃珠可以用來類比水分子？雷射光和一個系統的溫度又有何關聯呢？在本篇文章中，我們將會介紹波茲曼分布(Boltzmann distribution)這個物理概念來回答以上問題。
撰文／劉詠鯤
●波茲曼分布是什麼？
「波茲曼分布」這個看起來只會在物理課本出現的名詞，其實離我們的日常生活不遠。當一杯水被加熱到沸點時，水會沸騰。這是因為此時液態的水分子具有足夠高的能量，因此可以「逃脫」變為氣態的水蒸氣。但是，在室溫下，杯中的水也會慢慢蒸發變少，這是否意味著即使在室溫下，一杯水的水分子，也是有部分具有足夠高的能量，可以逃脫呢？
我們做個簡單的比喻：人均GDP是用來描述一個國家人民富有程度的指標之一。台灣2019年的人均GDP大約是26000美元。我們知道，這並不代表每個人貢獻的GDP都一樣，而是有的人高於平均，有的人低於平均。
在一個分子系統中，每一個分子都具有自己的能量，有的高，有的低。溫度，是一個平均的概念，用來描述整個系統的「能量富有程度」。溫度高的系統，平均分子能量比溫度低的系統高。和人均GDP的概念一樣，一個固定溫度的物體，並不是指這個物體裡的所有分子都具有相同能量，分子能量一樣存在著「貧富差距」。在國家財富中，可能找不到一個數學模型來描述貧富分布；但是在一個分子系統中，分子的能量分布，可以透過波茲曼分布來描述。[1]
知道波茲曼分布後，室溫下水會蒸發的原因便十分清楚。一杯沸騰的水就如同一個富有的國家，大多數的分子都具有足夠的能量克服蒸發熱，成為自由的氣體分子。室溫的水，則如同較為貧困的國度，大多數分子能量不足以克服蒸發熱，但仍舊有很少數的「能量富翁」可以成為氣體分子。
分子的能量除了本身運動所具有的動能，也可以是受到外力作用下的位能。例如：大氣由於受到重力作用，在離地表不同的高度，具有不同的重力位能。這個重力位能的不同，使得大氣呈現離地表越近，密度越高的情形，這個密度分布也大致符合波茲曼分布[2]。
在一個分子系統中，波茲曼分布幫助我們將三個量緊密連結在一起：溫度、位能以及粒子分布，知道其中兩者便可以計算剩下的那一個。在大氣的例子中，我們知道溫度以及重力位能，因此可以推算出大氣粒子的分布。那如果換個角度來想，如果我們可以控制位能以及粒子分布，那是不是就能推算出溫度了呢？
●玻璃珠如何類比水分子？
實驗中，每一顆玻璃珠都被施加了一個精準控制的位能。這個位能並非重力位能，而是透過光鑷子[3]施力，所產生的光位能。實驗者透過精準控制光位能的形狀以及玻璃珠粒子的分布，便能決定這個玻璃珠系統的溫度。隨著背景低溫水浴以及光位能的作用，玻璃珠的位置、分布會逐漸改變，透過追蹤玻璃珠的分布，我們便能研究整個系統是如何降溫。
知道分子必須滿足波茲曼分布除了可以幫我們把溫度、位能以及粒子分布連結再一起，還可以大幅簡化實驗。一杯水裡的水分子數量是個天文數字，研究降溫過程時，我們並沒有辦法去追蹤每一個分子的能量是如何改變。這時，知道分子能量如何分布便是一個有利的武器。如同兩點可以決定一直線的概念：當我們知道一個圖型為直線時，只需要這條線上的任意兩點，就可以畫出整條直線。波茲曼分布儘管並非如直線般簡單，但依舊可以幫助我們僅靠抽樣調查一個系統中少量的粒子[4]，就定義出整個系統的能量分布。每一個玻璃珠，就如同我們隨機抽樣波茲曼分布裡的其中一點。藉由觀察數千顆玻璃珠能量分布如何改變，我們就能描繪出系統整體是如何變化。這個依據波茲曼分布抽樣的概念，便是為何使用數量遠少於水分子的玻璃珠系統再加上光鑷子提供的光位能，可以用來研究一杯水的降溫過程。
在科學研究中，「化繁為簡，再以簡馭繁」這個過程總是不斷發生。馬克士威、波茲曼等前輩物理學家，從複雜的分子系統中，利用數學統計的語言，找出簡潔的描述。現在的科學家則從這個根本原理出發，經由巧妙的實驗設計，試圖去抓住複雜問題的關鍵，期望有一天能徹底了解彭巴效應這個十分神奇的現象。
參考資料：
[1] A. Kumar and J. Bechhoefer. Exponentially faster cooling in a colloidal system. Nature. Vol 584, August 6, 2020, p. 64. doi: 10.1038/s41586-020-2560-x.
[2] A new experiment hints at how hot water can freeze faster than cold
註解：
[1] 波茲曼分布的數學型式可以表達為P ∝ e-E/kT，指的是某個粒子處於特定狀態的機率，E為粒子能量，k為波茲曼常數，T則是系統的溫度。
[2] 由於真實大氣密度受到複雜因素影響，如日照、氣流、濕度…，因此只能說大致符合。
[3] 透過聚焦雷射光來操控微小粒子的技術，有興趣的讀者可以參考CASE 2018諾貝爾物理獎專題。
[4] 此處的少量，是指相對於整個系統的分子數來說。