非歐幾何是一個時代的結束?還是開始? & 數學史上有革命事件嗎?

非歐幾何的誕生,是數學史上的一個傳奇故事,而這圍繞著歐幾里得《幾何原本》的第五設準發展。數學家一開始試圖證明這個設準是否「多餘」,然而在承認這個任務失敗之後,他們終於面對世界上除了歐氏幾何以外,可能存在另一種新的幾何學。

講師:洪萬生|臺灣師範大學數學系退休教授

幾何學對於平行線的定義,是「永遠不會交會的線」,但這是不可能直接證明的事。數學家證明平行線的方式,是反過來先假設它們「確實」有交會,然後設法證明這會產生矛盾。數學家就是像這樣子,經常用很簡單的邏輯,幫助我們脫離經驗與直觀的層次,藉此論證一些無法觀察到的事物。非歐幾何的誕生,就是這樣一個人類理性邏輯戰勝直覺經驗的絕佳範例。

這得從歐幾里得的第五設準說起:「一條直線與另外兩條直線相交,若某一側的兩個內角和小於兩直角,則這兩條直線不斷延長後在這一側相交。」所謂的設準 (postulate) 有別於所有演繹科學眾所公認的公理 (axiom) ,指的是特定科學中的根本真理,屬於一種特殊的概念。歐幾里得在論證平行線時,對於採用第五設準不斷推遲,直到命題 1.29 「如果兩平行直線被第三條直線所截,則內錯角相等,同位角相等,且同側內角和等於兩個直角」,才不得不讓第五設準登場,而且在這之後也再沒用到過第五設準。

歐幾里得對於採用第五設準似乎頗有疑慮,其來有自:與第五設準關係密切的命題 1.27 「如果兩直線被第三條直線所截,使得內錯角相等,則兩直線平行」,是《幾何原本》第一冊中,唯一一個命題本身正確,卻無法證明其逆定理的例子。直到 18 、 19 世紀,數學家開始意識到第五設準也許無法被證明,但若是改變這條設準,也許就能發展出全然不同的幾何學,也就是所謂的非歐幾何。

主張世界上並不存在非歐幾何的人,自然是所在多有;康德就認為歐氏幾何這個綜合先驗 (synthetic a priori) 的知識系統,是有關空間世界的唯一真實幾何學。但是非歐幾何的想法,在數學家們的探討下,仍舊逐漸成形。高斯就不認為歐氏幾何那麼理所當然,既然沒有任何人證明過「兩條平行線永遠不可能相交」的命題,這種直觀就不能說是不證自明;薩開里 (Girolamo Saccheri) 藉由探討以他為名的「薩開里四邊形」,指出非歐幾何是一組包括非平行公設的公設系統,所推導出來的非直觀系統;克呂格 (Georg Klugel) 與蘭伯特 (Johann H. Lambert) 等人,則是透過研究非歐幾何,包括雙曲三角形的角度與面積,具體地認識到除了歐氏幾何以外,還有其他的幾何存在。

我們也許沒辦法找到一位眾所公認的「非歐幾何之父」,但這些數學家幾經反覆掙扎思辨,共同催生了非歐幾何,無疑是數學史上一段極為精彩的傳奇。

 

從歐氏幾何真理的瑣碎補題出發,到嶄然確立的怪異幾何,非歐幾何的橫空出世,結束了一段兩千年的真理追索。透過對於高斯無上定理的認識,以及繼承高斯思想的黎曼發明/發現的幾何新觀點,非歐幾何得以被納入更宏大的系統,為現代數學與物理學奠立了新基礎。本講次主要交代高斯在非歐幾何發展史上的樞紐地位。

講師:翁秉仁|臺灣大學數學系副教授

在 19 世紀之前,歐氏幾何被認為是絕對的真理;康德在《純粹理性批判》中,更是以絕妙的論證主張歐氏幾何的真理性。無論是天文以及航海所需的球面幾何,抑或包含「透視」以及「無窮遠點」等等概念的射影幾何,以現代觀點來看都屬於非歐幾何,但過去沒有人這麼認為,一律將其劃為歐氏幾何的發展領域。

歐氏幾何近代的發展首先是在 17 世紀,由笛卡兒和費馬提出直角坐標系統,將歐氏幾何坐標化;接著由韋達 (François Viète) 推動代數符號,數學家開始以代數工具處理幾何問題,形成了解析幾何。新幾何則是以解析幾何為基礎,應用微積分與微分方程,試圖解決許多科學應用上的困難問題,因此又稱為微分幾何。在微分幾何發展過程中出現的「曲率」概念,後來不但促成高斯和黎曼的新幾何概念發展,甚至在物理學的廣義相對論以及量子場論中大放光彩。由曲率延伸出來的曲面論,從解析幾何開始萌芽,到了 18 世紀迅速發展,應用在測地製圖等實際問題上頭。高斯提出「曲面即世界」的阿米巴觀點(也就是想像自己是一隻位於曲面上的阿米巴原蟲,由此產生的世界觀),做為新幾何觀點的起點。

要探討非歐幾何,重點在於要揚棄絕對歐氏空間的概念,把歐氏幾何想成一種最簡單幾何的可能性;但是非歐幾何也必須要能夠處理原來歐氏幾何中,關於長度、角度、面積、體積等概念。微分幾何的第一基本式,作為量度長度的「量尺」,決定了這個阿米巴世界所有的幾何量;高斯無上定理斷言,一個曲面的高斯曲率,可以只用第一基本式及其導數表示,也就是說高斯曲率是內稟的。在曲面上處理三角形內角和的高斯-博內定理,反映出非歐幾何的世界觀,更是挑動了非歐幾何的神經。

這兩條重要的定理,皆出自於高斯在 1827 年發表的《曲面論》,不過他自己倒是從未發表過任何非歐幾何的結果。過沒幾年,羅巴切夫斯基 (Nikolas Lobachevsky) 以及鮑耶 (Bolyai János) 分別發表了非歐幾何的論文,高斯後來表示雖然他很欣賞這兩位年輕人的天份,不過這些結果他早就了然於胸,無法給他們更高的讚譽。高斯這樣說並不是馬後砲,從他以前的書信中可以發現,他早在 14 歲就開始思考非歐幾何, 22 歲時已經開始懷疑歐氏幾何的真確性,「非歐幾何」這個詞不但就是他發明的,這些年也曾多次提到由他證明出來的關鍵定理。高斯在非歐幾何的思考廣度與深度,確實超越了正式把這些結果發表出來的羅巴切夫斯基等人,真正繼承高斯思想的人是黎曼,不過那就得留待下回分解了。

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