Hubbard 模型（ㄧ）：動機與定義
■我們將利用一個系列文跟大家介紹一個在凝態物理中很重要的模型家族。
撰文｜蕭維翰
前兩篇文章跟讀者定性地講述了在討論金屬性質時，大家所謂的典範式的蘭道理論是什麼意思。筆者預計再花至少一兩篇文章聊聊現在當紅的「怪金屬」（Strange metal）和「壞金屬」（bad metal），探討它們與正常金屬的差異，並盡筆者能力所及跟大家說明背後的原因。
在那之前，筆者想跟大家花幾篇文章的空間來聊聊一個也可以有非費米液體（non-Fermi liquid）的簡單模型。
說是一個模型，其實精確而言是一個模型與它的各種變形。
在科普文中拿理論物理的特定模型來探討往往是很不討好的。其一，模型往往離現實的量測還有一段距離，比較難讓一般來說讀者有直接的體會 ; 其二，實例的一些特徵往往牽涉到定量的計算，對於一般讀者，這並不是最友善的呈現方式。
但從另外一個角度思考，這或許可以讓大家理解理論物理學家在面對複雜問題時，如何去萃取中最關鍵的元素，又或是在研究一個相對簡單的模型時，如何推論出一些適用性更廣的結論。至於技術性的、定量的討論，在電腦技術發達的今日，可部分地將數值呈現成圖表來讓大家有更直觀的感受。
這個系列文的重點在所謂的 Hubbard 模型。這個模型一開始是被提出來研究過渡金屬中的電子運動，而後被進行各種改造，至今仍是強關聯系統內一個重要的課題。在更精確地定義今天的版本前，讓我們在看看這個問題內的基本元素。
Hubbard 模型示意圖。我們以藍色圓球代表粒子，Hubbard 模型基本上就是放一堆粒子在晶格的節點（紅色圓框）上。粒子可以在相鄰的節點間跳躍（左上），當兩個粒子跑到同一個節點時，他們會感受到交互作用（右下）。
在 Hubbard 模型中，空間的背景是一個給定的晶格，空間維度可以是 1, 2, 3 維，幾何結構可以是正立方體（cubic lattice）、三角晶格（triangular lattice）、蜂窩晶格（honeycomb lattice）。進而我們將一些粒子（費米子 (fermion )或玻色子 (boson)）放到節點上，考慮他們可能的動力學。
一個模型的動力學依賴於我們「允許」這些粒子做些什麼事。首先我們要控制放了多少個粒子進去，在統計力學的一個表述內，平均的粒子數可以藉由調整化學勢（chemical potential）來控制。接下來我們讓粒子們有能力活動，最簡單的狀況是，我們讓粒子可以在鄰近的節點上跳躍，在一個週期性的晶格中，這樣只有「動能」的問題是可以解的，因為粒子們看不見彼此，一個 1,000 個粒子的問題基本上只是 1,000 個一個粒子的問題。下一步就是讓粒子們「看見彼此」，現實世界中電子們看得見對方，是因為他們之間有庫倫位能，庫倫位能是一個遠距離的交互作用，對我們來說還是複雜了點，作為第一步，我們考慮一個極限的狀況，也就是兩個粒子間具有交互作用僅僅當他們處在同一個節點上。（這樣的簡化並不會過於不切實際，因為在實際的問題中，庫倫力常常被屏蔽，也因此沒有那麼長距。）
這就是我們的 Hubbard 模型，它具有三個參數：化學勢 μ，決定平均而言我們放了多少粒子進去這個系統，躍遷常數 t（hopping constant）決定粒子在相鄰兩晶格點間跳躍的能力（微觀上，這個數字可以對應到一個粒子從一個點上穿隧到另外一個點的程度。），位能 U，決定當兩個粒子位於同一個晶格上的時候，他們之間交互作用的程度。最後還有一個熱力學參數是溫度 T。（在理論的討論中，我們當然可以任性地考慮絕對零度的物理，但當要在實驗上準備這樣的系統時，我們必須確保溫度夠低以至於量子效應可以呈現出來。）
這個模型看起來很單純，然而，在任意維度的晶格上，人們迄今並沒有簡單而且完整的了解。但從已經掌握的知識中，我們知道費米子版本的 Hubbard 模型在不同的溫度和摻雜條件下它的基態至少可以呈現反鐵磁（antiferromagnet）、贗隙（pseudogap）、非常規超導性（unconventional superconductivity）、費米液體、怪金屬等相。玻色子版本的 Hubbard 模型則提供我們一個簡單的模型來研究超流體與 Mott 絕緣體（Mott insulator）間的相變化，甚至在相變化的臨界點(critical point)實現低能量版本的希格斯粒子 (Higgs particle)。
在實驗上，雖然他們並不直接對應到實際的金屬與電子系統，但今日超冷原子（ultracold atoms）實驗的技術已經可以在光學晶格（optical lattice）中分別實現玻色跟費米版本的 Hubbard 模型，讓整個故事更有趣的是，實驗學家們有能力精確地控制化學勢、躍遷常數與位能，甚至可以透過控制不同方向的躍遷常數來漸進地變化空間維度，這允許了我們在實證的程度上極大可能地去探索簡單模型中的物質相，也讓理論計算上的預測結果有了許多直接的比較對象。
在本系列中，我們將分別考慮玻色子與費米子的 Hubbard 模型，並就人們目前已經了解的物理，也就是前面出現的那些專有名詞，盡可能跟讀者解說已知的現實、已經在實驗上驗證的現象與期待的發展。
Hubbard 模型示意圖。我們以藍色圓球代表粒子，Hubbard 模型基本上就是放一堆粒子在晶格的節點（紅色圓框）上。粒子可以在相鄰的節點間跳躍（左上），當兩個粒子跑到同一個節點時，他們會感受到交互作用（右下）。
Figure2. （photo credit: 作者自繪）
在學術演講中常見的費米子 Hubbard 模型的物質相圖（以溫度和交互作用為參數）。
Figure3. (Photo credit: 作者自繪)
在學術演講中常見的費米子 Hubbard 模型的物質相圖（以溫度和摻雜為參數）。
本系列全文：
Hubbard 模型（三）：費米 Hubbard 模型：簡單的解析事實（上）
Hubbard 模型（四）：費米 Hubbard 模型：簡單的解析事實（下）
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作者：蕭維翰，臺大物理系畢業後逃到芝加哥，吹風吹雪之餘，做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看，只能在密西根湖旁揀一方堤岸，偽裝成看海的人。科教中心特約寫手，從事科普文章寫作。
