Hubbard

■在本系列的前面幾篇文章中我們透過一些盡可能簡單的物理直覺跟讀者說明在 Hubbard 模型中可能的物理機制，並透過一些很簡單的圖畫搭配簡單計算來跟讀者們闡述這些跳來跳去的自旋怎麼能夠偏愛反鐵磁（antiferromagnetism）的組態或者在某些狀況下偏好鐵磁性（ferromagnetism）的組態。

■在前文中我們定義了費米 Hubbard 模型，並花了一點空間討論當躍遷常數 t 與交互作用 U 都不為零，但後者遠大於前者的時候，透過一個二階的量子過程，半填滿的晶格在能量上會偏好相鄰的兩個費米子擁有反向的自旋，這構成了「反鐵磁性」（antiferromagnetism）的可能性。

■經歷了前面兩篇暖身，有忍住讀完的讀者們應該稍微對 Hubbard 模型有了基本的了解。本文中我們繼續考慮類似的模型，但在這裡我們把粒子們換成費米子。

■在這個極限，玻色子們其實看不見對方，也就是說多粒子問題變回了單粒子問題，同時，我們有能力去計算單一個玻色子的能階，接下來要回答的，就是當有很多玻色子要填進這個能階時它們要怎麼分佈。對於自由的玻色子而言，這個問題的答案是已知的，因為它們不需要遵守庖立不相容原理，大家可以一起擠到最低的能態去，也因此，全部的人共享同一個波函數，這樣的物理相信有些讀者能夠心領神會，這也就是所謂的玻色愛因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensation），也就是說，基態是個超流體（Superfluid）。

■我們將利用一個系列文跟大家介紹一個在凝態物理中很重要的模型家族。在 Hubbard 模型中，空間的背景是一個給定的晶格，空間維度可以是 1, 2, 3 維，幾何結構可以是正立方體（cubic lattice）、三角晶格（triangular lattice）、蜂窩晶格（honeycomb lattice）。進而我們將一些粒子（費米子 (fermion )或玻色子 (boson)）放到節點上，考慮他們可能的動力學。