Hubbard 模型（五）：自旋液體與價鍵固體
撰文｜蕭維翰
在本系列的前面幾篇文章中我們透過一些盡可能簡單的物理直覺跟讀者說明在 Hubbard 模型中可能的物理機制，並透過一些很簡單的圖畫搭配簡單計算來跟讀者們闡述這些跳來跳去的自旋怎麼能夠偏愛反鐵磁（antiferromagnetism）的組態或者在某些狀況下偏好鐵磁性（ferromagnetism）的組態。
但嚴格來說，這些用兩三個晶格點的組成的玩具模型，儘管可以給我們思考的切入點，但他們至多說明系統有那個理由偏好這個組態，卻沒有辦法用這個來決定物質相，因為物質相是定義在熱力學極限（thermodynamic limit）的，必得有近乎無限大的系統才算數。
筆者在之後將跟大家說明目前透過量子場論獲得的相圖（但我們不會涉及計算。），但在這之前，讓我先為大家插播一個概念，既可以讓大家明白為什麼之前的玩具模型的結論不一定能直接推廣到熱力學極限，也順道介紹之後會出現的物質相：自旋液體（spin liquid）跟價鍵固體（valence bond solid）。
我們之前曾透過兩個節點的小模型，說明在很大的交互作用位能下，相鄰的費米子偏好相反方向的自旋。但讓我們再想想，如果今天這個晶格變得複雜一點點，多加一個節點變成三角形，如圖一所示，粒子的密度同樣控制在半填滿，儘管兩兩箭頭間依舊傾向配對成相反的自旋，但這純粹的幾何限制毫無懸念地破壞了完全兩兩反向配對的可能性。
除此之外這個幾何限制也會增加基態的簡併數量，意思是，有好多個基態都會有具有一樣的能量。如圖一中這些小三角形，就有六個基態。如果我們考慮一個系統完全由這樣的三角形組合起來，可以見得基態將會有很大的簡併數，這樣子的效應會克制磁性「序」（order）的形成。如果微觀系統中每個費米子的自旋不大，在低溫下，量子效應會是造成波動（fluctuation）的主力，這種由量子效應驅動、微觀上以自旋為自由度所形成高度關聯卻又沒有「序」的相，稱為量子自旋液體（quantum spin liquid）。
講歸講，但物理學家需要問而且回答的是，我們有沒有一個波函數來具象化這種基態。更白話一點點，我們知不知道基態裡自旋的分佈是怎麼樣的呢？
讓筆者以圖二中的三角晶格為例，來嘗試建構一個沒有磁序，自旋 0 的基態。
我們必須注意，之前文章中的簡單例子所獲得的結論與圖像常常只是要求兩個相鄰粒子自旋方向相反，並沒有仔細地說這樣一對自旋具有的「總自旋」是多少。事實上在上一篇文章討論鐵磁性的可能機制時，細心的讀者或許有注意到，即便我放進去的費米子們帶有自旋一上一下，但我依舊可以計算出自旋 1 的基態。
讓我在圖二中標記兩個節點 A 跟 B ，所謂一上一下，可以是 A 上 B 下，也可以是 A 下 B 上。這兩個波函數在 z 方向的自旋投影都是 0，但是他們的自旋卻不是 0。根據量子力學的角動量相加規則，兩個自旋 1/2 的物件放在一起，他們的總自旋根據波函數的組合方式，可以是 0 或者 1，必須由 A 上 B 下跟 A 下 B 上這兩個波函數相減所形成的疊加態才是自旋 0 的態，在文獻中我們習慣用一個橢圓代表（見圖二），同時它也被稱為價鍵（valence bond）。
利用價鍵這種自旋零物件，接下來便讓我們把很多個價鍵排入三角形晶格中，看看可以建構出哪些態。
具有強迫症的讀者很可能會排列出如圖三中的狀態，這種狀態下每個自旋基本上只跟他的價鍵夥伴有量子糾纏，這樣的狀態稱為價鍵固體（valence bond solid）。既然我都稱它為固體了，顯然他並不是我們前面想要找的自旋液體。直覺的想法是這樣規則的排列破壞了原先晶格的對稱性，而就跟傳統液體與固體的差別類似，液體的狀態往往比固體有更高的對稱性。
現在所知的描述量子自旋液體的波函數，一般稱為隨機價鍵態（random valence bond state, RVB state）。他構造的方法被描繪在圖四中：我們考慮任意的價鍵分佈，然後把所有可能的分配方法都加起來。
若你把這樣一個波函數交給筆者，我第一眼可能不會認為這是個有趣的研究課題。然而 RVB 態在近 30 年間的強關聯電子系統（strongly correlated systems）卻是風風火火，主因在於諾貝爾獎得主安德森（P. Anderson）在 1987 年提出這樣子的波函數可能是高溫超導體的關鍵。
在本文中，我們透過一個簡單的幾何結構跟讀者說明為什麼前文的討論只能提供某些直覺，卻不足以讓我們做出關於物質相的結論，並延伸出在三角晶格可能存在的態：自旋液體。我們也用圖像講解了如何透過節點上的自旋去建構相關的波函數，在接下來的文章中，我們將把注意力拉回定義在蜂窩狀晶格的 Hubbard 模型，跟大家聊聊從量子場論中推論出的物質相。
參考資料：Leon Balent, Spin Liquids in Frustrated Magnets (2010).
本系列全文：
Hubbard 模型（三）：費米 Hubbard 模型：簡單的解析事實（上）
Hubbard 模型（四）：費米 Hubbard 模型：簡單的解析事實（下）
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作者：蕭維翰，臺大物理系畢業後逃到芝加哥，吹風吹雪之餘，做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看，只能在密西根湖旁揀一方堤岸，偽裝成看海的人。科教中心特約寫手，從事科普文章寫作。
