南部加法規則：希格斯粒子、NJL 模型、超流體氦與BCS超導體（下）

■南部陽一郎（なんぶよういちろう）在研究 BCS 、NJL、與費米超流氦的質量光譜後，提出了模型中費米子質量與玻色子質量應該滿足的關係，這就是南部的加法規則。

撰文｜蕭維翰

在上文中我們花了一些篇幅複習關於超導體與希格斯物理的一些歷史，闡述了粒子物理學家南部陽一郎為何投入超導體問題的研究，並如何利用他在過程中所掌握的精髓反饋到核物理的研究，以超導體 BCS 模型為原型，提出 Nambu-Jona-Lasinio （NJL）模型。

並且在結尾，我們揭示了一些事實：在 BCS 與 NJL 模型中，各有一個「南部-戈德斯通玻色子」、一個基本的費米子、和一個「希格斯玻色子」。在 BCS 模型中，基本的費米子就是電子，而兩玻色子就是相異頻道的安德森-博戈柳博夫粒子。在 NJL 模型中，南部-戈德斯通玻色子是 介子、基本費米子是核子、而希格斯玻色子是  介子。而這三者的質量比，則呈現 0 : 1 : 2。或者另一個寫法是——

0² + 2² = (2．1)²

這就是最簡化版本的南部加法規則 [1]（Nambu Sum Rule）。現在看起來，這個寫法其實有點牽強，但到本文末，筆者希望可以說服大家這個寫法是比 0 : 1 : 2 要自然一點。

這樣的質量比例很難讓人覺得是巧合。從純電子建構的 BCS 模型出發，兩個玻色子基本上是古柏對（Cooper pair）凝聚態不同頻道的量子波動。從純核子建構的 NJL 模型看，這兩個玻色子的物理效果可視為某些費米子交互作用的加總結果。南部曾經嘗試以超對稱（supersymmetry）的角度來看待這個問題 [2]。

但或許更實際一點的問題是，除了這兩個模型，是否還有其他類似的模型具有這樣的特性呢？

南部找到了超流體氦。這邊的氦，指得是 3He。不同於玻色子 4He，3He 是費米子，但在低溫狀態，這些氦原子們也能形成古柏對而進入超流體態。然而有一個決定性的差異，使得 3He 不僅僅是電中性的 BCS 模型 —— 那就是古柏對的配對方式。

在最原始的 BCS 模型中，一個具有動量 k 的電子會和一個具有動量 -k 但具備相異自旋態的電子配對，即若其中一人自旋為上，另一人自旋便為下，使得整個古柏對的自旋 s 為 0（業內的術語為自旋單重態，spin singlet。），同時兩電子之間也沒有相對的角動量，l=0，形成 s 波配對。（就是高中化學中沒有角動量的 s 軌域的 s。）

但量子力學告訴我們，這不是唯一被允許的狀況——當兩個自旋為 1/2 的物件被放在一起時，除了自旋 0 ，還可以組合出自旋 1 的狀態。

費米子超流氦中的原子，就是以自旋 s =1 （自旋三重態，spin triplet）的方式配對，並且兩原子間具有角動量 l = 1，形成 p 波配對。

這樣不同的配對機制，使得費米超流氦相較於 BCS 超導體複雜許多。讓我們用簡單的乘法來表現這個複雜的程度。除了角動量加法，量子力學（或者說群論）也告訴我們，具有角動量 J 的量子態，擁有 2J+1 個自由度，約略而言可以被解釋成角動量的 z 分量可以從 -J, -J+1,..., 一路到 J。（是的，又是高中化學。）在 BCS 問題中，兩個角動量 S 跟 L 都是 0，所以只有 1 個複數的自由度，或者 2 個實數的自由度，對應到前述的兩個玻色子。在費米超流氦中，S 和 L 都是 1，因而有三乘三一共 9 個複數的自由度，或 18 個實數自由度。也就是說若真的進行計算，我們會得到 18 個玻色子 [3]。

乍看之下很複雜，但其實這 18 個玻色子可以透過它們所帶的總角動量  和他們在電子電洞轉換（particle-hole transformation）下獲得的正負號來分堆。也就是每個玻色子都有一個量子數 ，其中 J = 0, 1, 2。

讓我們針對超流氦的 B 相（B phase），其中基態的能隙是 。接著我們打開 [3]，列出每個  玻色子的質量：

我們發現雖然 0 : 1 : 2 的規律不再成立，但前面那個看似人為的寫法卻可以自然的被推廣成：

這就是文獻中較被人所知的南部加法規則。

加法規則顯然不是南部最有影響力的成就，但時至今日，仍有物理學家嘗試利用它去探索更多物理。譬如，有些人嘗試將它套用在標準模型中，去計算 LHC 所探測到的希格斯粒子的「夥伴」[4, 5]。  也有團隊 [6] 在複習了南部原來的推導後指出，這個等式並不是絕對精確的，而是第一階的近似結果，他們在進行更複雜的計算後發現，當考慮更高階的修正，在 3He 中只有和基態具有相同角動量的玻色子們會符合加法規則。

南部其人已遠。但筆者相信，他帶給我們的物理，以及他融匯不同物理學門間的直觀和點子的為學風格，都歷久彌新，影響每個世代的科學家們。

 

 

參考資料：

[1] G. Shchedrin, and D. M. Lee, Phys. Sci. 91, 013006 (2016).

[2] Y. Nambu, Physica D 15, 147 (1985).

[3] D. Vollhardt, and P. Woelfle, The Superfluid Phase of Helium 3 (1990).

[4] G. E. Volovik, and M. A. Zubkov, Phys. Rev. D 87, 075016 (2013).

[5] G. E. Volovik, and M. A. Zubkov, J. Low Temp. Phys. 175, 486 (2014).

[6] J. A. Saul, and T. Mizushima, Phys. Rev. B 95, 094515 (2017).

 

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作者：蕭維翰，臺大物理系畢業後逃到芝加哥，吹風吹雪之餘，做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看，只能在密西根湖旁揀一方堤岸，偽裝成看海的人。科教中心特約寫手，從事科普文章寫作。