南部加法規則:希格斯粒子、NJL 模型、超流體氦與BCS超導體(下)

■南部陽一郎(なんぶよういちろう)在研究 BCS 、NJL、與費米超流氦的質量光譜後,提出了模型中費米子質量與玻色子質量應該滿足的關係,這就是南部的加法規則。

撰文|蕭維翰

上文中我們花了一些篇幅複習關於超導體與希格斯物理的一些歷史,闡述了粒子物理學家南部陽一郎為何投入超導體問題的研究,並如何利用他在過程中所掌握的精髓反饋到核物理的研究,以超導體 BCS 模型為原型,提出 Nambu-Jona-Lasinio (NJL)模型。

並且在結尾,我們揭示了一些事實:在 BCS 與 NJL 模型中,各有一個「南部-戈德斯通玻色子」、一個基本的費米子、和一個「希格斯玻色子」。在 BCS 模型中,基本的費米子就是電子,而兩玻色子就是相異頻道的安德森-博戈柳博夫粒子。在 NJL 模型中,南部-戈德斯通玻色子是 介子、基本費米子是核子、而希格斯玻色子是  介子。而這三者的質量比,則呈現 0 : 1 : 2。或者另一個寫法是——

0+ 2= (2.1)2

這就是最簡化版本的南部加法規則 [1](Nambu Sum Rule)。現在看起來,這個寫法其實有點牽強,但到本文末,筆者希望可以說服大家這個寫法是比 0 : 1 : 2 要自然一點。

這樣的質量比例很難讓人覺得是巧合。從純電子建構的 BCS 模型出發,兩個玻色子基本上是古柏對(Cooper pair)凝聚態不同頻道的量子波動。從純核子建構的 NJL 模型看,這兩個玻色子的物理效果可視為某些費米子交互作用的加總結果。南部曾經嘗試以超對稱(supersymmetry)的角度來看待這個問題 [2]。

但或許更實際一點的問題是,除了這兩個模型,是否還有其他類似的模型具有這樣的特性呢?

南部找到了超流體氦。這邊的氦,指得是 3He。不同於玻色子 4He,3He 是費米子,但在低溫狀態,這些氦原子們也能形成古柏對而進入超流體態。然而有一個決定性的差異,使得 3He 不僅僅是電中性的 BCS 模型 —— 那就是古柏對的配對方式。

3He 的原子結構圖。photo credit: wikipedia

在最原始的 BCS 模型中,一個具有動量 k 的電子會和一個具有動量 -k 但具備相異自旋態的電子配對,即若其中一人自旋為上,另一人自旋便為下,使得整個古柏對的自旋 s 為 0(業內的術語為自旋單重態,spin singlet。),同時兩電子之間也沒有相對的角動量,l=0,形成 s 波配對。(就是高中化學中沒有角動量的 s 軌域的 s。)

但量子力學告訴我們,這不是唯一被允許的狀況——當兩個自旋為 1/2 的物件被放在一起時,除了自旋 0 ,還可以組合出自旋 1 的狀態。

費米子超流氦中的原子,就是以自旋 s =1 (自旋三重態,spin triplet)的方式配對,並且兩原子間具有角動量 l = 1,形成 p 波配對。

這樣不同的配對機制,使得費米超流氦相較於 BCS 超導體複雜許多。讓我們用簡單的乘法來表現這個複雜的程度。除了角動量加法,量子力學(或者說群論)也告訴我們,具有角動量 J 的量子態,擁有 2J+1 個自由度,約略而言可以被解釋成角動量的 z 分量可以從 -J, -J+1,..., 一路到 J。(是的,又是高中化學。)在 BCS 問題中,兩個角動量 S 跟 L 都是 0,所以只有 1 個複數的自由度,或者 2 個實數的自由度,對應到前述的兩個玻色子。在費米超流氦中,S 和 L 都是 1,因而有三乘三一共 9 個複數的自由度,或 18 個實數自由度。也就是說若真的進行計算,我們會得到 18 個玻色子 [3]。

乍看之下很複雜,但其實這 18 個玻色子可以透過它們所帶的總角動量  和他們在電子電洞轉換(particle-hole transformation)下獲得的正負號來分堆。也就是每個玻色子都有一個量子數 ,其中 J = 0, 1, 2。

讓我們針對超流氦的 B 相(B phase),其中基態的能隙是 。接著我們打開 [3],列出每個  玻色子的質量:

我們發現雖然 0 : 1 : 2 的規律不再成立,但前面那個看似人為的寫法卻可以自然的被推廣成:

這就是文獻中較被人所知的南部加法規則。

加法規則顯然不是南部最有影響力的成就,但時至今日,仍有物理學家嘗試利用它去探索更多物理。譬如,有些人嘗試將它套用在標準模型中,去計算 LHC 所探測到的希格斯粒子的「夥伴」[4, 5]。  也有團隊 [6] 在複習了南部原來的推導後指出,這個等式並不是絕對精確的,而是第一階的近似結果,他們在進行更複雜的計算後發現,當考慮更高階的修正,在 3He 中只有和基態具有相同角動量的玻色子們會符合加法規則。

南部其人已遠。但筆者相信,他帶給我們的物理,以及他融匯不同物理學門間的直觀和點子的為學風格,都歷久彌新,影響每個世代的科學家們。

在 NJL 模型中,最低階的玻色子傳播子(propagator)其實是透過加總這些費米子的費曼圖得到的。photo credit: 作者自繪。

 

 

參考資料:

[1] G. Shchedrin, and D. M. Lee, Phys. Sci. 91, 013006 (2016).

[2] Y. Nambu, Physica D 15, 147 (1985).

[3] D. Vollhardt, and P. Woelfle, The Superfluid Phase of Helium 3 (1990).

[4] G. E. Volovik, and M. A. Zubkov, Phys. Rev. D 87, 075016 (2013).

[5] G. E. Volovik, and M. A. Zubkov, J. Low Temp. Phys. 175, 486 (2014).

[6] J. A. Saul, and T. Mizushima, Phys. Rev. B 95, 094515 (2017).

 

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作者:蕭維翰,臺大物理系畢業後逃到芝加哥,吹風吹雪之餘,做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看,只能在密西根湖旁揀一方堤岸,偽裝成看海的人。科教中心特約寫手,從事科普文章寫作。

 

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