非厄米系統

■厄米對稱(Hermitian)存在於大部分的量子理論之中,但它卻不是必要的。如果放棄這個對稱性,系統將出現奇妙的物理現象和有趣的應用。

撰文|陳奕廷

薛丁格方程式是量子力學的核心,方程式裡面主要由兩個部分組成:哈密頓算符(Hamiltonian)和波函數。哈密頓算符決定於系統環境,而波函數包含所有關於量子態有用的資訊。對於一個特定的系統,我們把系統特性寫進哈密頓算符中,薛丁格方程式就會告訴我們這個系統中的波函數長什麼樣子。

通常,物理學家會要求哈密頓算符滿足一些基本的數學條件,以滿足大自然中對稱性,例如;量子態的能量是實數、粒子數和能量守恆等。這些基本的數學條件被稱做厄米對稱性(Hermitian)[註1],幾乎所有的基礎量子理論都建立在哈密頓算符是厄米對稱的前提下。本篇文章介紹如果不要求厄米對稱,量子理論會出現的奇異現象和有趣應用。

●獨特點(Exceptional Point, EP)

在非厄米系統中,最奇異的特性是「獨特點」的存在 [註2]。一般的量子系統中,不同的量子態處於相同的能量是一件極為普通的事情,例如:苯環的共振結構。儘管能量相同,苯環的共振確確實實是由「兩個」量子態組成。但在獨特點上,多個量子態除了具有相同的能量,它們融合成為「一個」量子態。

圖一、隨著系統環境變化,量子態的能量也跟著改變。圖中紅色和藍色分別是兩個不同的量子態。(左)在厄米系統中,能量的改變非常平滑。(右)在非厄米系統中存在「獨特點」,在這個點上面,紅色和藍色兩個不同的量子態融合成一個量子態。在這個點附近,能量的變化非常複雜劇烈。

圖一是量子態在厄米系統和非厄米系統的結構,厄米系統隨環境變化非常的平整緩慢。而非厄米系統,在特定的系統參數下(綠色箭頭)量子態糾結成一團、並且融合。物理學家提出很多理論,描述獨特點在電子結構中潛在的應用。但是電子這樣的費米子(fermion)必須要滿足實數能量和粒子數守恆,難以應用在非厄米系統中。相較之下,光子是一個波色子(boson),它能任意地被產生或是消滅,也可以有虛數能量 [註3],是實現厄米系統非常好的候選人。以下來看一些「獨特點」的應用。

●量子態切換器

量子態的能量隨系統環境變化,在獨特點上,兩個量子態融合成一個(圖一右的綠色箭頭處)。而在獨特點附近,量子態的變化非常奇異。如果我們設計一個實驗,控制系統中兩個參數,使系統環境在參數空間內走圖二A的封閉路徑,量子態會走如圖二B所示的路徑(白色箭頭),它會回到原來的狀態。但如果像圖二C那樣包含一個獨特點(EP)的封閉路徑,量子態會從紅色的變成藍色的。科學家發現,如果包含獨特點封閉路徑是逆時針的,量子態都會變成藍色的,而順時針都會變成紅色的。

圖二、通常在實驗中,我們可以透過許多參數來控制一個系統,在此假設我們有2個參數。(A)參數的變化是一個封閉路徑,但不包含獨特點(EP)。(B)在不包含獨特點(圖中綠色X)的情況下,A中的封閉路徑會讓量子態回到原狀。(C) 參數的變化是一個封閉路徑,並且包含獨特點(EP)。(D)如果路徑包含獨特點,量子態不會回到原處,而是變成另外一個量子態。

如果你發現上述的理論細節很難理解,來看看實際應用。科學家設計一種材料,材料內不同位置有不同的性質。當光子從左邊穿越材料到右邊時,光子就像是經歷了圖二C和D中的逆時針過程;從右邊到左邊,則是順時針過程。如圖三所示,無論是光子本來處於紅色或藍色的量子態,向右傳輸後,所有的光子都跑到了藍色量子態(圖三A)。相反地,向左傳輸,光子都跑到紅色量子態(圖三B)。這個現象除了反直覺又很酷之外,在單一元件內達到兩種量子態的控制切換,對光電路也有很大的應用。

圖三、材料內特性的變化被設計成圖二中C, D的路徑。(A)無論起始狀態是什麼,如果光子向右傳輸,它會落於藍色量子態。(B)反之會到紅色量子態。

●高敏度偵測器

上面曾經提到在獨特點附近量子態的能量變化非常劇烈,科學家將這個特性應用在偵測器中。系統受到外界干擾時(例如有原子或分子經過),系統環境會出現變化,這個變化也會反應在量子態的能量中。但通常這個變化非常微小,難以被測量。但在一個非厄米系統中,獨特點對參數變化非常敏感。如圖四B所示,微小的擾動(橫軸橘色雙箭頭),對厄米系統來說是微不足道(縱軸灰色雙箭頭),但在非厄米系統中卻造成非常大的反應(縱軸橘色雙箭頭)。

透過這個原理製造的感應器非常靈敏。這樣的裝置靠的是對底層物理的了解加上材料的設計,結構相對簡單。也因為不須要複雜的機構,它在奈米尺度下的電路應用非常有潛力。

圖四、(A)外界擾動就像是某種參數變化,當受到擾動時,量子態的能量會產生變化。透過這個能量變化,科學家能反過來偵測外界擾動的大小。(B)非厄米系統中的獨特點對外界壤動的靈敏度極高。小小的干擾就能產生很大的能量變化。

附註:
[註1] 厄米對稱指的是在共軛(conjugate)和轉置(adjoint)運算下守恆。
[註2] 英文為exceptional point,筆者譯為「獨特點」,也可以翻譯為「優越點」、「例外點」等。
[註3] 光子理論中,實數能量代表光的頻率,虛數能量代表光子被吸收或耗散的速率。

 

參考資料:

  1. Hossein Hodaei et al., Enhanced sensitivity at higher-order exceptional points, Nature 548, 187 (2017)
  2. Weijian Chen et al., Exceptional points enhance sensing in an optical microcavity, Nature 548, 192 (2017)
  3. Jörg Doppler et al., Dynamically encircling an exceptional point for asymmetric mode switching, Nature 537, 76 (2016)
  4. H. Xu et al., Topological energy transfer in an optomechanical system with exceptional points, Nature 537, 80 (2016)

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作者:陳奕廷,台大物理系學士,史丹佛大學應用物理系博士班就讀中。對各領域的科學都非常好奇,歡迎互相交流。

 

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