【大宇宙小故事】40 光陰似箭

撰文|葉李華

愛丁頓(圖像來源:維基百科)

在科學史上,愛丁頓(A. Eddington, 1882-1944)最有名的功績是為廣義相對論提供第一個天文觀測證據(請參考〈愛因斯坦之最〉)。然而,如果你以為他是一位觀測天文學家,那就大錯特錯了。事實上,愛丁頓可以算是最早的天體物理學家,這就代表他對物理學也有深刻的認識。

據說曾經有人在公開場合問他,全世界只有三個人真懂廣義相對論,想必您是其中之一?沒想到愛丁頓竟然反問:「第三個人是誰呢?」這雖然很可能只是傳說,卻足以突顯他在這門學問上的造詣。

因此,愛丁頓不只研究過廣義相對論,甚至曾經做出「教科書級」的貢獻(Eddington-Finkelstein座標)。不過恐怕很少有人知道,除此之外,他還思考過一個更基本的問題,從而提出一個更著名的理論,所謂的「時間箭頭」。

就人類的直覺而言,時間很像一條河流,不但一直流動,而且有固定的方向。在牛頓的(絕對)時空觀中,我們不難找到這個「時間河流」的意象。可是兩種相對論都將時空視為整體,時間在其中只是另一個座標軸,非但不再流動,而且失去了方向,以至於變得非常陌生、非常違背直覺。

這個弔詭有兩個可能的解釋,一是「時間河流」根本不存在,牛頓未能參透這一點,相對論則一針見血地戳穿這個假象。另一個解釋則是四維時空的理論仍有不足之處,應當設法替它打個補丁。

愛丁頓選擇了第二個可能性,可是在相對論中竟然找不到製作補丁的材料。他只好跳出框架來思考,結果在古典物理學的一個角落,直接找到了他所需要的補丁。

這是公元1927年的事。

●熱力學之父2

時間退回到一百多年前的十九世紀初,當時蒸汽機早已推動工業革命,但熱力學這門學問卻遲遲尚未誕生,甚至能量的概念都還不夠明確。這就代表之前的工程師在從事研發之際,其實只是跟著感覺走,知其然而不知其所以然,就連大名鼎鼎的瓦特(James Watt, 1736-1819)也不例外。

相信有不少人以為瓦特是蒸汽機的發明者,事實則不然,瓦特之所以名留青史,是因為他將蒸汽機的效率大幅提升。但諷刺的是,瓦特蒸汽機的效率仍然不到10%,也就是說還有超過90%的能量沒派上用場。

可想而知,當時的工業界多麼希望更上一層樓,但由於欠缺理論基礎,進展相當緩慢。

最先在學理上研究這個問題的人是法國工程師卡諾(Sadi Carnot, 1796-1832),如果你修習過熱力學,對這個名字應該不陌生。不過熱力學教科書恐怕忘了交代一件事:他的父親(Lazare Carnot, 1753-1823)在這方面做了重要的奠基工作,換言之,卡諾的成就其實是站在父親的肩膀上完成的。

卡諾父子1813年畫像(圖像來源:維基百科)

順帶一提,老卡諾是個非常精采的人物,擁有科學家、工程師、政治家和軍事家的多重身份,而且各方面都頗有建樹(如果令你聯想到富蘭克林,那不算巧合,這兩人可算是忘年之交)。此外或許更重要的是,這位老卡諾教子有方,大兒子擁有「熱力學之父」的美名,二兒子則在政治上承先啟後,把自己的長子培養成了法國總統。

回到正題,卡諾父子雖然都鑽研過機械效率的問題,但兩人的「分工」大致是這樣的:老卡諾研究的主要是簡單機械(槓桿、滑輪、輪軸、斜面、螺旋、楔)所組成的機器,卡諾則是研究所謂的熱機(蒸汽機與內燃機的統稱);前者的動力是水力、獸力或發條,後者則是靠熱能來驅動。

兩人的研究結果可說是殊途同歸,都發現能量的轉換有先天的限制。

用現代的語言來說,老卡諾發現的限制源自摩擦和(非彈性)碰撞,導致某些能量因而轉變成(散逸到空氣中的)熱量。既然機械在運作時摩擦和碰撞在所難免,輸入的能量當然無法百分之百派上用場,這點相當容易理解。

卡諾的結論就比較奇怪,他發現只要是以熱來驅動機器,即使完全不考慮磨擦和碰撞,效率還是絕不可能達到百分之百。換言之,總是有一部分熱能硬是不肯轉換成動能。

那麼熱機的效率有沒有明確的上限呢?答案是肯定的!經過數年的研究,卡諾創造了一個理論模型(卡諾熱機),並且導出一個定理(卡諾定理):任何真實的熱機,效率都低於卡諾熱機。(後來才有人算出卡諾熱機的效率是1-TC/TH, 請參考下圖)。

卡諾熱機示意圖(圖像來源:維基百科)TH可想成燃料的絕對溫度,TC可想成環境的絕對溫度。此外QH是輸入熱機的熱量,QC是排出的熱量,兩者之差W即為熱機輸出的功。

正是這個定理,讓卡諾被後人尊稱為「熱力學之父」。但必須強調的是,就現代標準而言,卡諾的學說仍有「誤打誤撞」的成分,例如他將熱視為一種流體,用水車當作熱機的模型。不過,這是因為當時科學界尚未瞭解熱的本質(請參考〈統一與獨立〉),絕非卡諾不夠聰明或不夠努力。

事實上,卡諾正是努力過了頭,才會年紀輕輕便積勞成疾,導致健康迅速惡化,最後感染霍亂英年早逝。

由於卡諾領先時代太多,他的研究成果並未即時受到同儕的重視。當他三十六歲告別人世之際,科學界還幾乎等於沒有這號人物。直到死後十餘年,卡諾的學說才由幾位物理學家(Clapeyron, Clausius, Kelvin)重新詮釋,成為著名的「熱力學第二定律」。

為什麼不是第一定律呢?因為「第一」保留給了焦耳等人發現的能量守恆定律。

●時間的聯想

愛丁頓當年找到的補丁正是熱力學第二定律,因為它隱含了「時間的流動與方向」。

不過請注意,這個定律有幾個等價的敘述,並非每一個都能引發時間的聯想。最明顯的反例就是前述的「當你用熱來驅動機器時,注定有一部分熱能無法派上用場。」這句話也是第二定律的一種敘述,但似乎和時間八竿子也打不著。

因此,愛丁頓所需要的是另一個版本:「孤立系統的熵會一直不斷增加,直到升至極限值才會停止。」請大家想想,其中的「一直不斷增加」是不是同時隱含了時間的流動與方向?而整個宇宙算不算一個孤立系統?

美中不足的是,這個敘述用了一個非常抽象的概念「熵」。或許由於它實在太抽象,愛丁頓在引介「時間箭頭」時,似乎刻意避免用它來打頭陣。

例如在1928年出版的著作中,愛丁頓是這麼說的:「讓我們任意畫個箭頭。如果跟著這個箭頭走,我們發現世上有越來越多的紊亂成分(random element),這個箭頭就指向未來;如果紊亂成分逐漸減少,箭頭就指向過去……這種單向性在空間中找不到對應,我將用『時間箭頭』表述之。」

由此可知,愛丁頓是以紊亂成分一詞來取代熵。可是千萬別以為這是愛丁頓的發明,事實上,早在半個世紀前(公元1877年)已經有人提出類似的想法,可惜又是因為太過超越時代,直到多年後才獲得學術界的肯定。不過,那當然是另一個故事了。

註一:經過百年的演進,熱力學終於發展出四大定律──第三定律出現於二十世紀初,而在一九三零年代,為了讓熱力學更嚴謹,又有人提出近乎廢話的第零定律。這四大定律構成熱力學的基石,地位有如古典力學的牛頓三大定律,以及電磁學的馬克士威方程組。

註二:凡是「不可逆」的物理過程都隱含了熵的增長,因此也能用來定義時間箭頭,而且或許更符合直覺。

「不可逆過程」有個科普版的操作型定義:將過程拍攝下來,然後倒轉播放,如果看起來荒謬無比,原過程就是不可逆的。例如:(1)動植物的生長;(2)食鹽在水中溶解;(3)冰塊在空氣中融化;(4)籃球在地上反覆彈跳,最後趨於靜止。

註三:根據目前公認的宇宙學理論,宇宙誕生於一百多億年前,然後逐步擴張,範圍越來越大,因此宇宙本身就能體現時間的流動與方向。

這樣定義出的時間箭頭稱為「宇宙學(時間)箭頭」,以有別於上述的「熱力學箭頭」。由於宇宙和(真實的)四維時空其實是同義詞,所以「宇宙學箭頭」可謂自給自足、不假外求。不過「動態宇宙」的觀測證據在1927年尚未出現,愛丁頓才會禮失而求諸野。

 

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