【大宇宙小故事】25 從自然數到超複數

撰文|葉李華

「上帝(僅僅)創造整數,其他都是人類努力的成果。」這是十九世紀德國數學家克氏(L. Kronecker)的名言。然而,如果我們將「上帝」視為「大自然」的同義詞,就必須將「整數」改為「自然數」,唸起來才會比較通順。

事實也的確如此,因為「零」與「負整數」無疑都是人類的發明。例如古代中國並沒有零的概念,所以「零」其實是假借字(原意是零星、零碎)。而「負整數」更不能算是自然界的產物,請問你會不會說「我家院子裡有負三株玫瑰」?

那麼分數呢?這麼說吧,如果你看到切得整整齊齊的半隻雞,會不會以為那是大自然的鬼斧神工?推而廣之,只要扣除自然數,其他的「有理數」通通是數學家的心血結晶。

「無理數」當然更是人工的產物。舉例而言,古希臘的學者經過多年思辨,才終於確定√2是無理數。據說畢氏學派有個學生甚至因此喪命,當然只是謠傳罷了。

然後,想必你還記得「有理數」和「無理數」合稱為「實數」(real number)。這個「實」非常耐人尋味,它表明了自己真實存在於宇宙中。或許我們可以這麼想,只要有空間,就一定有距離;將所有的距離放在一起,就是一組完整的實數了。

換成數學家的說法,則是「直線」和「實數」有一對一的對應關係。因此,如果你畫出一條直線,在上面標示1, 2, 3...這樣的刻度,那麼除了這些(自然數)刻度之外,其他各點所代表的數都跟上帝沒有關係,起碼是沒有直接的關係。

●虛實共構

連中學生都知道,實數之外還有虛數(imaginary number)。當你在解一元二次方程式的時候,虛數已經是不可或缺的工具。

耐人尋味的是,二次方程式的歷史足足有幾千年,虛數卻是十六世紀才出現的,而且當時還不叫「虛數」。在此之前,諸如x2+1=0這樣的方程式都被視為無解。

「實數」和「虛數」這兩個名詞則是十七世紀的產物,兩者都是笛卡兒的發明。在其經典之作《幾何學》(1637)中,笛卡兒頻頻使用「虛數」來指稱負數的平方根,至於「實數」則是伴隨「虛數」而生的名詞,正如「歐氏幾何」之於「非歐幾何」。

從這個「虛」字即可看出笛卡兒自己相當心虛。原因很簡單,這種虛無縹緲、根本不存在於自然界的東西,它在數學、物理以及哲學上到底該如何定位,連笛卡兒這位「近代哲學之父」兼「近代數學之父」也說不清楚。

第一個勉強將它說清楚的人,是大名鼎鼎的數學王子高斯(Carl F. Gauss, 1777-1855)。或許你還記得,所謂的「高斯平面」就是把平面直角座標的橫軸當成實數軸,縱軸當成虛數軸,其中每個點剛好對應一個複數(complex number),正如同直線和實數有一對一的對應關係。(事實上,高斯並非第一位使用高斯平面的數學家。)

高斯發表相關論文是1831年的事,在此之前,他也曾為「虛數的哲學意義」糾結了三十多年。或許正因為如此,他在論文中特別強調「虛數」是個容易造成誤導的名詞,言下之意大家最好敬而遠之。如果我們用後見之明來評斷,高斯所發明的「複數」在語意上的確比「虛數」優秀許多。

●更上一層樓?

當數學家慢慢接受了虛數和複數之後,自然而然會有人想要更上一層樓,這是數學家的天性。

比方說,既然平面和複數(a+bi)有一對一的對應關係,那麼空間是不是和某種「超複數」(a+bi+cj, 其中j是i的推廣)對應呢?這個問題深深吸引了一位名叫哈密頓(William Hamilton, 1805-1865)的愛爾蘭學者。

哈密頓苦思多年,始終無法找到圓滿的答案。直到1843年底,他走過一座石橋,忽然靈感大發,立刻把頓悟的公式刻在橋上(所以他可算是塗鴉藝術的始祖)。

哈密頓的塗鴉早已磨損殆盡,但如果你現在去都柏林觀光,會看到那座橋上有一塊石板,上面刻著這麼幾句話:

  1843年10月16日這天

  當他路過此地

  哈密頓爵士

  靈光一閃

  發覺四元數的乘法

  服從如下的基本公式

  i2=j2=k2=ijk=-1

  順手將它刻在這座橋上

(都柏林市政府忘了加上一句:特殊案例,請勿模仿,否則……)

圖像與文字來源:維基百科

接下來,當然要解釋一下這個公式背後的意義。

在此之前,哈密頓一直想要建構a+bi+cj這樣的超複數,卻始終無法發明合理的乘法規則。比方說,既然j是i的推廣,i2=j2=-1是理所當然的事,可是ij該等於什麼呢?直到這一天,他才驚覺「更上一層樓」注定是死路,必須一口氣更上兩層樓才行。換句話說,必須將a+bi擴充成a+bi+cj+dk(j, k都是i的推廣),這樣的數系結構才會擁有合理的乘法。

哈密頓將這個「超複數」命名為「四元數」(quaternion),這個名詞很容易顧名思義,用不著多做解釋。

或許你會擔心四元數無法和三維空間一一對應,所以沒有幾何意義。其實,想要得到這樣的對應關係,只要把四元數的「實部」定為零就行了。換言之,要對應三維座標,bi+cj+dk是再自然不過的選擇。

四元數有一個特殊性質(可從上面的公式導出來),那就是i, j, k三者的乘法必須滿足「反交換」關係,例如ij=-ji=k. 如果我們將i, j, k視為矩陣,這種反交換關係其實不難理解。但是當時(1843年)矩陣理論尚未正式誕生,由此可見哈密頓是多麼藝高膽大。

●再上幾層樓?

看到這裡,你會不會開始動腦筋,想把四元數再推廣成更超級的複數?

根據歷史教訓,下一個超複數應該不是五元數,也不太可能是六元數。可是到底是幾元數呢?其實,前面幾個數系的「維度」(基底的數目)提供了很明顯的線索。

從實數到複數,再從複數到四元數,維度的變化是1→2→4, 因此我們可以大膽預言,下一個超複數應該是「八元數」(octonion)。

事實上,在哈密頓發明四元數之後短短兩個月,他的朋友(John Graves)就發明了八元數(主要是找到正確的乘法規則),但由於論文發表較遲,所以根據正式的數學史,八元數的發明者另有其人(Arthur Cayley)。

至於八元數有些什麼特殊規則,我們可以用歸納法來思考這個問題。

在實數推廣到複數的過程中,「次序」的概念被犧牲了。因為實數具有明確的大小次序(例如2>1>-1),而複數卻沒有(你不能說2+i>1+i, 也不能說2+i<1+i)。

複數推廣到四元數的過程中又犧牲了什麼呢?其實剛才已經提到,犧牲了「乘法的交換律」。

那麼,當我們將四元數推廣到八元數,還能再犧牲什麼呢?那就是或許比「交換律」更基本的「結合律」。

所以說,八元數最大的特色就是連乘法的結合律都不見了。如果你想讓三個八元數x, y, z依照這個順序相乘,寫成xyz根本沒有意義,必須寫成(xy)z或是x(yz),前者代表先進行xy的乘法,後者則以此類推。

前面提到,只要你熟悉矩陣,就不至於對「非交換性」太過陌生。換成數學的說法,就是四元數的i, j, k都可以用矩陣來表現,所以a+bi+cj+dk其實就是四個矩陣相加,結果當然還是一個矩陣,並沒有什麼神秘的。

但由於矩陣乘法服從結合律,而八元數並不服從,這意味著你根本不能用矩陣來表現八元數,因此就連數學家都對它有點頭痛。

●到了盡頭?

如果你想再接再厲,將八元數擴充為十六元數,那麼根據上述的「犧牲規律」,你得先找出還有什麼能犧牲的。可是不論你多麼努力,恐怕都是徒勞無功。這就代表八元數的犧牲已經到了盡頭,所以它就是最高維的超複數。

這是個很重要的數學定理,它有個可愛的暱稱「1,2,4,8定理」。

然而,這是否代表超複數的演化真的到了盡頭?答案則是見仁見智。因為上述的四元數與八元數只能算是超複數的一種「正統」類型,我們若對血統的純正稍微放鬆一點,就能另闢蹊徑,發明出更多的超複數,不過那當然是另一個故事了。

註一:何謂正統?

複數z=a+bi的絕對值平方=|z|2=zz*=(a+bi)(a-bi)=a2+b2.

若z, w皆為複數,那麼|z|2|w|2=zz*ww*=zwz*w*=(zw)(zw)*=|zw|2.

因此我們得到|z||w|=|zw|這個關係。

將z, w推廣成四元數,雖然乘法沒有交換律,我們能夠證明|z||w|=|zw|仍舊成立。

將z, w推廣成八元數,雖然乘法沒有交換律和結合律,|z||w|=|zw|同樣成立。

所以服從|z||w|=|zw|的數系就是我們所謂的正統數系(數學家當然另有名稱)。

註二:若用實係數來展開,那麼對於複數而言,|z|2|w|2=|zw|2這個關係對應於Fibonacci恆等式(能寫成平方和的兩個整數相乘,結果仍能寫成平方和):(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2.

推而廣之,四元數所對應的關係式為Euler四平方和恆等式,而八元數對應的關係式則是Degen八平方和恆等式。根據「1,2,4,8定理」,這類的關係式到此為止,千萬別不信邪,白白浪費時間!

 

加入好友

4,866 人瀏覽過