物理學中的對偶性(上)

■無論在文學或科學的場合,對偶性的追求,都不僅是形式美的提升,而是對所欲描繪的物件做出更深刻表述的嘗試。

An illustration of magnetic monopole. Photo Credit: Heikka Valja. This photo is adopted from the new “Physics Professor David Hall and Team Observe Quantum-Mechanical Monopoles” on Amherst College official website. News Date: 4/30/2015.
An illustration of magnetic monopole. Photo Credit: Heikka Valja. This photo is adopted from the new “Physics Professor David Hall and Team Observe Quantum-Mechanical Monopoles” on Amherst College official website. News Date: 4/30/2015.

撰文|蕭維翰

筆者希望以這兩年火紅的對偶描述為量子霍爾效應作小結,但在這之前,有必要另開篇幅跟大家聊聊所謂的對偶是什麼。

對偶是漢語傳統文學的一種修辭技術,又稱對仗,常以字數相符的句子兩兩配成(若討論元曲,也可見三句配成的鼎足對)依據創作體裁的不同,在配對的格律要求會略有出入,但詞性相匹,聲韻相對是基本原則,一個雋永的例子是晏幾道一闋臨江仙的首對「夢後樓臺高鎖,酒醒簾幕低垂。」[1]

文學審美,與語言的文字結構相輔相成,對偶修辭顯然也是得利於漢字的方塊結構。在以數學語言構成的現代物理學中,從固態物理到弦理論也充斥著許多對偶(duality),但此處相對的兩個物件,以蘇軾所謂「橫看成嶺側成峰」來比喻,應該更能直觸神髓。

如漢語對偶的細節隨體裁而異,物理學中對偶理論的精確定義也隨著場合不盡相同,但大致上的意思是,有兩個數學上看起來相異的理論,物理內涵是相同的。

一個抽象[2]但離社會大眾可能接近一點的例子是電磁學。古典電磁學的內涵是,給你電流跟電荷,原則上透過馬克斯威方程式跟邊界條件就能決定電場 E跟磁場 B的狀況。若今天系統沒有電流跟電荷,將馬克斯威方程組的 E寫成 B,B寫成 –E,四條方程式維持原樣。在比較高階的教材中,我們常把 (E, B)[3] 寫成 F,然後把它的對偶寫成 *F = (B, -E )。在沒有電流跟電荷的狀況下,馬克斯威方程式的中文就是 F 的微分等於0,*F 的微分也等於0。

如果允許電流跟電荷,這時候馬克斯威方程式變成 F 的微分等於電流/電荷,*F 的微分等於0。把 F寫成 *F就會改變電磁學了,若我們希望電磁學有這個對偶性,至少得引進磁荷,或說磁單極。然而,除了在自然狀況下磁單極還沒被發現的實證疑慮,引進磁單極也會造成現有理論的缺陷。狄拉克(P. Dirac)首先說明如果量子力學跟電磁學都要安然無恙,電子電荷 e 和磁單極的磁荷 g 必須符合eg = 2nπ[4],其中 n 是整數,我們可以注意到,給定一個 n,若 e 很大,g就小,反之當g很大,e就小。

另一個例子是二維易辛模型(Ising model),這是一個模擬磁鐵最簡單的模型,基本上就是一個平面晶格,每個格點上都有一個箭頭代表小磁鐵,但它們只允許朝上(+1)或朝下(-1)。在研究它的熱力學時,交互作用的強度約略可以用溫度T或者倒數1/T = K代表。經過一些計算,在原本晶格上的問題可以寫成一個在對偶晶格上的問題,只是原本的 K換成另一個 K’ 。在正方形的晶格中,K與K’有一個很對稱的關係:sinh K sinh K’ = 1。讀者不用擔心不知道 sinh 是什麼函數,只需要注意在這個關係中,因為兩個人相乘起來是1,所以當 sinh K很大,sinh K’ 就很小,反之亦然。

這兩個例子都有顯示一個特色:互相對偶的兩個理論中,如果一個交互作用很強,另外一個強度就很小。這幾乎是所有對偶性中都具備的特性,更甚者,在一些對偶性可以更精確描述的問題中,我們甚至可以建立「字典」,把一邊理論中的變數,和另外一邊的其他變數一一對應起來。

研究物理問題時擁有對偶性的好處是,很可能我們對於一個強關聯的問題束手無策,但透過了解它的對偶理論,再透過字典回溯原本的問題,也能獲得很多資訊。亦即追求對偶性不僅是強化只有業內人士理解的形式美,透過對偶的結構,我們其實是由不同面向去窺探同一物理的堂奧。

對偶晶格(dual lattice)基本上很好建構,基本上就是在原晶格兩個格點連線間畫中垂線,這些中垂線形成的晶格就是對偶晶格,比如說我們一開始有左上角的藍色正方形晶格,他的對偶晶格就是紅色虛線的正方形(所以正方形晶格是自對偶(self dual))。同樣的我們也可以畫三角晶格跟蜂窩晶格的對偶晶格,然後發現這兩者是相互對偶的。
對偶晶格(dual lattice)基本上很好建構,基本上就是在原晶格兩個格點連線間畫中垂線,這些中垂線形成的晶格就是對偶晶格,比如說我們一開始有左上角的藍色正方形晶格,他的對偶晶格就是紅色虛線的正方形(所以正方形晶格是自對偶(self dual))。同樣的我們也可以畫三角晶格跟蜂窩晶格的對偶晶格,然後發現這兩者是相互對偶的。

 

延伸閱讀:(筆者按:對偶真的比較難欸,所以有興趣的可以從這種入門)
Savit, Duality in field theory and statistical systems, Rev. Mod. Phys. 52, 453 (1980).

有志之士可以看底下這兩個:
J. Harvey, Magnetic Monopole, Duality and Supersymmetry, arXiv:9603086.
J. Polchinski, Dualities of Fields and Strings, arXiv:1412.5704.

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[1] 作為一個北宋常見的詞牌,臨江仙有很多種句式,有開頭六字六字對起首的,也有五字七字起首的,如蘇軾「夜飲東坡醒復醉,歸來彷彿三更。」,未必每闋臨江仙,都能追及小晏該詞以如此典雅的對偶開局。

[2] 筆者默默看了每個自己知道的例子,好像每個都滿抽象的……。

[3] 它其實是一個矩陣,我想表達的是,我們想把電場跟磁場放在一起當成一個物件。

[4] 這個關係說明了,即便我們日常生活中沒看到磁單極,但只要宇宙中某個角落有磁單極,電子的電量就要被量子化。

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作者:蕭維翰,臺大物理系畢業後逃到芝加哥,吹風吹雪之餘,做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看,只能在密西根湖旁揀一方堤岸,偽裝成看海的人。科教中心特約寫手,從事科普文章寫作。

 

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