物理學中的對偶性(上)

■無論在文學或科學的場合，對偶性的追求，都不僅是形式美的提升，而是對所欲描繪的物件做出更深刻表述的嘗試。

撰文｜蕭維翰

筆者希望以這兩年火紅的對偶描述為量子霍爾效應作小結，但在這之前，有必要另開篇幅跟大家聊聊所謂的對偶是什麼。

對偶是漢語傳統文學的一種修辭技術，又稱對仗，常以字數相符的句子兩兩配成（若討論元曲，也可見三句配成的鼎足對）依據創作體裁的不同，在配對的格律要求會略有出入，但詞性相匹，聲韻相對是基本原則，一個雋永的例子是晏幾道一闋臨江仙的首對「夢後樓臺高鎖，酒醒簾幕低垂。」[1]。

文學審美，與語言的文字結構相輔相成，對偶修辭顯然也是得利於漢字的方塊結構。在以數學語言構成的現代物理學中，從固態物理到弦理論也充斥著許多對偶（duality），但此處相對的兩個物件，以蘇軾所謂「橫看成嶺側成峰」來比喻，應該更能直觸神髓。

如漢語對偶的細節隨體裁而異，物理學中對偶理論的精確定義也隨著場合不盡相同，但大致上的意思是，有兩個數學上看起來相異的理論，物理內涵是相同的。

一個抽象[2]但離社會大眾可能接近一點的例子是電磁學。古典電磁學的內涵是，給你電流跟電荷，原則上透過馬克斯威方程式跟邊界條件就能決定電場 E跟磁場 B的狀況。若今天系統沒有電流跟電荷，將馬克斯威方程組的 E寫成 B，B寫成 –E，四條方程式維持原樣。在比較高階的教材中，我們常把 (E, B)[3] 寫成 F，然後把它的對偶寫成 *F = (B, -E )。在沒有電流跟電荷的狀況下，馬克斯威方程式的中文就是 F 的微分等於0，*F 的微分也等於0。

如果允許電流跟電荷，這時候馬克斯威方程式變成 F 的微分等於電流/電荷，*F 的微分等於0。把 F寫成 *F就會改變電磁學了，若我們希望電磁學有這個對偶性，至少得引進磁荷，或說磁單極。然而，除了在自然狀況下磁單極還沒被發現的實證疑慮，引進磁單極也會造成現有理論的缺陷。狄拉克（P. Dirac）首先說明如果量子力學跟電磁學都要安然無恙，電子電荷 e 和磁單極的磁荷 g 必須符合eg = 2nπ[4]，其中 n 是整數，我們可以注意到，給定一個 n，若 e 很大，g就小，反之當g很大，e就小。

另一個例子是二維易辛模型（Ising model），這是一個模擬磁鐵最簡單的模型，基本上就是一個平面晶格，每個格點上都有一個箭頭代表小磁鐵，但它們只允許朝上（+1）或朝下（-1）。在研究它的熱力學時，交互作用的強度約略可以用溫度T或者倒數1/T = K代表。經過一些計算，在原本晶格上的問題可以寫成一個在對偶晶格上的問題，只是原本的 K換成另一個 K’ 。在正方形的晶格中，K與K’有一個很對稱的關係：sinh K sinh K’ = 1。讀者不用擔心不知道 sinh 是什麼函數，只需要注意在這個關係中，因為兩個人相乘起來是1，所以當 sinh K很大，sinh K’ 就很小，反之亦然。

這兩個例子都有顯示一個特色：互相對偶的兩個理論中，如果一個交互作用很強，另外一個強度就很小。這幾乎是所有對偶性中都具備的特性，更甚者，在一些對偶性可以更精確描述的問題中，我們甚至可以建立「字典」，把一邊理論中的變數，和另外一邊的其他變數一一對應起來。

研究物理問題時擁有對偶性的好處是，很可能我們對於一個強關聯的問題束手無策，但透過了解它的對偶理論，再透過字典回溯原本的問題，也能獲得很多資訊。亦即追求對偶性不僅是強化只有業內人士理解的形式美，透過對偶的結構，我們其實是由不同面向去窺探同一物理的堂奧。

 

延伸閱讀：（筆者按：對偶真的比較難欸，所以有興趣的可以從這種入門）
Savit, Duality in field theory and statistical systems, Rev. Mod. Phys. 52, 453 (1980).

有志之士可以看底下這兩個：
J. Harvey, Magnetic Monopole, Duality and Supersymmetry, arXiv:9603086.
J. Polchinski, Dualities of Fields and Strings, arXiv:1412.5704.

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[1] 作為一個北宋常見的詞牌，臨江仙有很多種句式，有開頭六字六字對起首的，也有五字七字起首的，如蘇軾「夜飲東坡醒復醉，歸來彷彿三更。」，未必每闋臨江仙，都能追及小晏該詞以如此典雅的對偶開局。

[2] 筆者默默看了每個自己知道的例子，好像每個都滿抽象的……。

[3] 它其實是一個矩陣，我想表達的是，我們想把電場跟磁場放在一起當成一個物件。

[4] 這個關係說明了，即便我們日常生活中沒看到磁單極，但只要宇宙中某個角落有磁單極，電子的電量就要被量子化。

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作者：蕭維翰，臺大物理系畢業後逃到芝加哥，吹風吹雪之餘，做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看，只能在密西根湖旁揀一方堤岸，偽裝成看海的人。科教中心特約寫手，從事科普文章寫作。