摺紙:摺痕中的數學

■CASE讀報和「一張紙變變變」研究計畫合作,推出為期一年的摺紙專欄。透過摺紙藝術介紹生物多樣性,或者導入一些數學概念,讓科學變得生動有趣!-----歡迎加入【一張紙變變變】粉絲團!

摺紙看似為藝術,但其實與數學息息相關。照片由Mina提供。Mina, CC BY-NC-ND
摺紙看似為藝術,但其實與數學息息相關。照片由Mina提供。

撰文|西新英格蘭大學數學系副教授 湯瑪斯·赫爾
翻譯|涂瑋瑛

摺紙藝術為發源於日本古代的技藝。摺紙藝術家可以將一張未經裁切的方形紙摺成一隻鳥、一隻青蛙、一艘船或一隻日本獨角仙。事實上,摺紙藝術的複雜是超乎想像的。

摺紙藝術在過去30年內經歷了「文藝復興」,創造出更複雜的新設計。隨著摺紙複雜度提高,科學家、數學家及摺紙藝術家也發現越來越多蘊含於摺紙設計中的數學規則,而這種現象並非巧合。

將紙張沿相鄰兩端頂點摺疊,上圖為其投影至球體的數學模擬圖。圖片由湯瑪斯•赫爾(Thomas Hull)提供。
將紙張沿相鄰兩端頂點摺疊,上圖為其投影至球體的數學模擬圖。圖片由湯瑪斯•赫爾(Thomas Hull)提供。

如果你有一個摺紙作品,例如一隻紙鶴,當你仔細拆開紙鶴後會發現,紙上的摺紋樣式就像作品的藍圖。摺紋樣式包含將紙張摺成紙鶴的秘訣──亦即數學。理論上,我們能使用摺紋樣式來決定摺紙方法及作品樣貌──前提是我們能了解摺紙的所有數學規則。

紙鶴的摺紋樣式,圖中標示山摺線及谷摺線。圖片由湯瑪斯•赫爾(Thomas Hull)提供。
紙鶴的摺紋樣式,圖中標示山摺線及谷摺線。圖片由湯瑪斯•赫爾(Thomas Hull)提供。

 

解讀摺痕

數學的核心是了解宇宙的規則及規律,不論是數字、股市或是自然中的規律,都屬於數學的範疇。至於摺紙中的數學,我們需要研究摺紋樣式的幾何學,包括線條在哪裡交會?它們形成的角度為何?摺痕摺疊的方向為何──亦即摺痕是山摺線或谷摺線?

傳統摺紙模型大多能摺疊成扁平形狀,換句話說,傳統摺紙模型能壓在書裡卻不會起皺。我們發現這種平面摺紙模型的摺紋樣式有些非常特別的屬性。其中一項特性稱為前川定理(Maekawa’s Theorem):在一平面摺紙作品的摺紋樣式中,山摺與谷摺的數量差異在每個摺痕交會點上永遠為二。譬如在一摺痕交會點上可能同時出現5個山摺及3個谷摺,但絕對不會有6個山摺及2個谷摺。

三浦摺疊的摺紋樣式可順利摺疊成一平面。圖片由湯瑪斯•赫爾(Thomas Hull)提供。
三浦摺疊的摺紋樣式可順利摺疊成一平面。圖片由湯瑪斯•赫爾(Thomas Hull)提供。

 

從藝術到應用

在1970年代,日本天文物理學家三浦公亮發明了「三浦摺疊(Miura map fold/Miura-ori)」。這是一個摺紙鑲嵌的實例,亦即同一形狀在整個平面上無間斷重複。在三浦摺疊中,因為摺紋樣式為平鋪排列的平行四邊形,所以摺痕線條也具有平面摺紙作品的特性。由於三浦博士選擇使用特定數量的山摺線與谷摺線組成摺紋樣式,因此三浦摺疊非常容易展開與閉合。0004

因為這種摺紋樣式能輕鬆展開與閉合地圖,所以摺疊地圖時使用這種摺紋樣式是極好的選擇,但是三浦博士將摺疊設計進一步運用在展開外太空的大型太陽能板。假設把每個平行四邊形都想像成一個太陽能電池,而所有電池都以絞鍊連結,那麼這一系列電池能摺疊成一個小型套裝,在火箭發射前放在人造衛星上。一旦進入太空,這個小型套裝能以一支簡單擴展桿打開,而不需要人工手動開啟。

由楊百翰大學(Brigham Young University)、美國太空總署噴射推進實驗室(NASA Jet Propulsion Laboratory)及朗摺紙工作室(Lang Origami)所開發的可延展太陽能陣列,其設計靈感源自摺紙作品,但這種設計並非直接源於三浦摺疊的設計。圖片由楊百翰大學提供。
由楊百翰大學(Brigham Young University)、美國太空總署噴射推進實驗室(NASA Jet Propulsion Laboratory)及朗摺紙工作室(Lang Origami)所開發的可延展太陽能陣列,其設計靈感源自摺紙作品,但這種設計並非直接源於三浦摺疊的設計。圖片由楊百翰大學提供。

三浦摺疊已經鼓舞許多研究人員探索其特質、運作原理及使用方式。舉例來說,來自馬薩諸塞大學阿默斯特分校(University of Massachusetts-Amherst)與康乃爾大學(Cornell University)的研究人員組成一個團隊,與我一起研究三浦摺疊在機械設備的應用:壓縮摺疊設備時需要多少力量?而放鬆設備時,其回彈的力量又是多少?我們在《科學(Science)》期刊上報告研究成果,發現如果在三浦摺疊上添加一些缺陷,譬如將某些摺痕交會點戳往反方向(譯註:例如將三條山摺的交會點(凸點)變成三條谷摺的交會點(凹點),反之亦可),就能改變三浦摺疊的運作方式。下圖顯示其中一種實例。

添加缺陷的三浦摺疊,這些缺陷使底部的摺數比頂部少。照片由傑西•西爾弗伯格(Jesse Silverberg)及康乃爾大學的伊戴•柯恩研究團隊(Itai Cohen Group at Cornell University)提供。
添加缺陷的三浦摺疊,這些缺陷使底部的摺數比頂部少。照片由傑西•西爾弗伯格(Jesse Silverberg)及康乃爾大學的伊戴•柯恩研究團隊(Itai Cohen Group at Cornell University)提供。

我們團隊也正在研究自行摺疊(self-folding),並製造了一些能自行摺疊的材料。除了我們團隊,也有其他研究團隊對這個主題感興趣。在康特國家聚合物研究中心(Conte National Center for Polymer Research)的萊恩·海沃德(Ryan Hayward)研究團隊已經研發出一種方法,使微型凝膠片在受熱後能沿著摺痕線條膨脹。這種方法可製作出一隻微型鶴鳥:

以自行摺疊聚合物製作的鶴鳥,寬度小於一毫米。照片由來自馬薩諸塞大學阿默斯特分校海沃德研究團隊(Hayward Research Group, University of Massachusetts-Amherst)的羅君熙(Jun-Hee Na)提供。
以自行摺疊聚合物製作的鶴鳥,寬度小於一毫米。照片由來自馬薩諸塞大學阿默斯特分校海沃德研究團隊(Hayward Research Group, University of Massachusetts-Amherst)的羅君熙(Jun-Hee Na)提供。

這隻鶴鳥可能是有史以來人類所摺出的最小鶴鳥!這種自行摺疊聚合物凝膠能製作出非常複雜的設計,例如這種立體八面體-四面體桁架鑲嵌結構:

八面體-四面體桁架結構的共焦顯微鏡影像。照片由來自馬薩諸塞大學阿默斯特分校海沃德研究團隊(Hayward Research Group, University of Massachusetts-Amherst)的羅君熙(Jun-Hee Na)提供。
八面體-四面體桁架結構的共焦顯微鏡影像。照片由來自馬薩諸塞大學阿默斯特分校海沃德研究團隊(Hayward Research Group, University of Massachusetts-Amherst)的羅君熙(Jun-Hee Na)提供。

未來這種微小的自行摺疊凝膠物體可能會運用於生物工程領域。想像一下,將某種高毒性的抗癌藥物封裝在一顆自行摺疊的摺紙小球中,這顆小球設定為只在接觸腫瘤時才會展開。如此一來,藥物就能精準投入腫瘤,卻不會毒害病患身體其餘部位。

假使我們不了解摺紙背後的數學規則,上述這些摺紙應用就不會實現。這告訴我們,數學與摺紙的應用非常廣泛,甚至能出現在我們原本意想不到之處。

--
作者簡介:
湯瑪斯·赫爾是摺紙數學的權威,並在全世界巡迴演講來介紹這個主題。他的研究使用圖論、組合學、幾何學及其他數學領域,並應用於工程學、材料科學、藝術及教育。他是數學俱樂部的指導教師,喜歡讓學生參與他的研究,他也定期在教師數學進修計畫教導學員。另外他也喜歡參加飛盤爭奪賽、閱讀恐怖靈異故事。現任西新英格蘭大學數學系副教授。

原文出處:Origami: mathematics in creasing

 

加入好友

11,886 人瀏覽過