<從伽利略的數學-物理實驗談起>&<中國古典益智遊戲>

<從伽利略的數學-物理實驗談起>

柏拉圖認為數學之美,在於可以靈思冥想,隔空探物;但是亞里斯多德卻認為親身驗證,眼見為憑,才是求知的王道。我們在伽利略身上既可見證這兩種知識典範完美的結合,也能看到偏廢的謬誤。本講次展示伽利略實驗如何在教學現場重現,以此探討實驗工具在數學思考中所扮演的角色。

講師:劉柏宏|勤益科技大學基礎通識教育中心特聘教授

伽利略最著名的物理實驗,大概是他在比薩斜塔頂端反覆做實驗,證明重量不同物體的下落速率,並不像亞里斯多德所說的與其重量成正比,而是以相等的速率運動。這個說法僅見於伽利略的學生維維安尼 (V. Viviani) 所著《伽利略傳》,有可能是學生為老師擦脂抹粉的美麗錯誤,然而從伽利略在其著作《兩門新科學的對話》中,可看到他對於亞里斯多德的認知,先是進行過思想實驗的質疑,接著以整整一百次的斜面運動實驗,確認滾球經過的距離與總長度的距離比例,永遠等於滾動所需時間與總時間比例的平方。

為了重現伽利略的斜面運動實驗,劉老師特別請木工師傅製作了一具可以調整傾斜角度的軌道,分別以 30 度、 45 度、以及 60 度的傾角,量測滾球經過的距離與時間,然後對每一秒的位置做一階差、二階差、以及三階差的計算。一階差是每一秒的位移距離,反映每一秒的速率,在各種角度下都是遞增;二階差是加速度,隨著傾斜角度增加而提升,每秒鐘除了些許測量誤差值以外,基本保持恆定;三階差則是零。這個反映距離與時間平方成正比關係的實驗測量結果,也出現在伽利略的實驗手稿上,數據漂亮得無懈可擊;考量到伽利略計算時間的工具相對粗糙(他用流水量衡量時間),能夠得出如此漂亮的實驗數據著實不易,當然也不乏科學史懷疑這是後來加上去的。

但是伽利略在高低兩點的最速降曲線問題上,就沒能夠以實驗非常精準地得到正確的答案。兩點之間的直線距離最短,但是下降的速度反而是最慢的,帶曲度的曲線下降速度會比較快;伽利略說他做過實驗,發現圓形曲線下降速度最快,但我們如今知道其實應該是擺線。劉老師同樣請木工師傅做了一組四軌模型,一如預期直線很明顯是下降速度最慢的,而初始斜度最陡峭的曲線軌道,也同樣合理但違反直覺地並非最速降曲線,真正的最速降曲線是擺線。擺線除了是最速降曲線以外,同時也是等時曲線,無論從擺線上的任何一個位置開始釋放滾球,最後抵達終點所需的時間都一樣,並不會因為行經距離較短而比較快抵達,這一點同樣可以由經過設計的軌道模型,得到實驗驗證。

伽利略以器求道,透過工具與思想實驗,分析直線落體運動距離與時間的平方比例關係,建立正確的理論。但他以同樣的方式進行曲線落體運動分析,卻因為受限於製作實驗器具的精準度,未能得到正確的結論,直到伯努利等數學家們透過理論推導,才建立了正確的曲線落體運動最速降軌道模型。實驗某種程度可以幫助我們驗證許多事情,但它並非追求真理的萬靈丹,實驗與理論相輔相成,必須要互為佐證,缺一不可。

 

<中國古典益智遊戲>

中國有許多古典的益智遊戲,如七巧板、九連環、幻方、華容道等,這些遊戲多涉及數學中的組合數學、拓樸學、幾何學、圖論等多門學科。本講次介紹這些益智遊戲的數學原理,以及如何以此進行數學教育。

講師:陳東賢|勤益科技大學基礎通識教育中心教授

我們首先來介紹七巧板。七巧板是一種用七塊板來玩的拼圖益智遊戲,以各種不同的拼湊組合,展現千變萬化的圖案。有些學者認為七巧板最早可追溯至北宋進士黃伯思所著《燕几圖》,他設計了一套可以依照宴會需求排列的長方形桌几;類似的概念也可見於明代萬曆年間戈汕所著《蝶几譜》,一套 13 件小桌可拼湊出各種桌型。蝶几圖形幾經簡化後,就成為了七巧板,目前可找到最早關於七巧板的書籍,是清代嘉慶年間碧梧居士所著《七巧圖合璧》。七巧板大約從 18 世紀開始流傳到海外,先傳至日本、朝鮮, 19 世紀初期也開始見於歐美出版的圖書中;英國學者李約瑟在《中國科技史》中,更是指出七巧板是「東方最古老的消遣品之一」。

九連環是另一種中國古早的智力遊戲,它是由九個相同的圓環以及一把「劍」組成,遊戲目的是要把九個圓環全部套上或卸下。類似的概念或可追溯到《戰國策》中提到的一種玉連環,也有學者認為九連環是三國時代諸葛孔明發明的,宋代時已是民間相當普及的益智玩具。解九連環所需最少次數有其數學規律可循,把每解下一個環所需最少次數寫下來,便可看出每多卸下或套上一環所需次數,基本上有個兩倍的倍數增長,但是從奇數環到偶數環的時候要再加一次。

幻方是一種數字遊戲,將 1 到 n 平方的數字,填入 n * n 的方格中,形成一個縱橫以及對角線的和都相同的 n 階方陣。幻方最早見於洛書,宋代數學家楊輝在其著作《續古摘奇算法》中,首度提出了 13 個幻方;明代數學家程大位在《算法統宗》裡,轉載了楊輝所列幻方,又加上 5 階幻方與 6 階幻方各一;清代數學家張潮更在《心齋雜俎》中,把幻方的概念推廣到正立方體上。幻方可以利用鏡射或旋轉進行轉換,在數學上稱這些幻方為同構或同形;如果把同構或同形都當成同一種幻方,那麼 3 階幻方實際上只有一種,就是洛書的排列法,足見古人的智慧。

華容道則是一種滑塊類遊戲,其前身可能為唐宋時代的「重排九宮」遊戲,不過最早看到華容道的實物,是在 1940 年代的上海,因此很有可能是西方的滑塊類遊戲傳入中國,被改成以三國故事為題材,在地化的華容道。遊戲目的是要幫助曹操逃出華容道,觀察盤面後可歸納出幾個移動滑塊的原則;有學者以電腦演算法,驗證華容道解法的最少步數,是否為資料上記載的 81 步,這是以現代運算能力去研究古代數學遊戲的一個範例。

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