【科學史沙龍】〈從伽利略的數學——物理實驗談起〉&〈中國古典益智遊戲〉
＜從伽利略的數學－物理實驗談起＞
柏拉圖認為數學之美，在於可以靈思冥想，隔空探物；但是亞里斯多德卻認為親身驗證，眼見為憑，才是求知的王道。我們在伽利略身上既可見證這兩種知識典範完美的結合，也能看到偏廢的謬誤。本講次展示伽利略實驗如何在教學現場重現，以此探討實驗工具在數學思考中所扮演的角色。
講師：劉柏宏｜勤益科技大學基礎通識教育中心特聘教授
伽利略最著名的物理實驗，大概是他在比薩斜塔頂端反覆做實驗，證明重量不同物體的下落速率，並不像亞里斯多德所說的與其重量成正比，而是以相等的速率運動。這個說法僅見於伽利略的學生維維安尼 (V. Viviani) 所著《伽利略傳》，有可能是學生為老師擦脂抹粉的美麗錯誤，然而從伽利略在其著作《兩門新科學的對話》中，可看到他對於亞里斯多德的認知，先是進行過思想實驗的質疑，接著以整整一百次的斜面運動實驗，確認滾球經過的距離與總長度的距離比例，永遠等於滾動所需時間與總時間比例的平方。
為了重現伽利略的斜面運動實驗，劉老師特別請木工師傅製作了一具可以調整傾斜角度的軌道，分別以 30 度、 45 度、以及 60 度的傾角，量測滾球經過的距離與時間，然後對每一秒的位置做一階差、二階差、以及三階差的計算。一階差是每一秒的位移距離，反映每一秒的速率，在各種角度下都是遞增；二階差是加速度，隨著傾斜角度增加而提升，每秒鐘除了些許測量誤差值以外，基本保持恆定；三階差則是零。這個反映距離與時間平方成正比關係的實驗測量結果，也出現在伽利略的實驗手稿上，數據漂亮得無懈可擊；考量到伽利略計算時間的工具相對粗糙（他用流水量衡量時間），能夠得出如此漂亮的實驗數據著實不易，當然也不乏科學史懷疑這是後來加上去的。
但是伽利略在高低兩點的最速降曲線問題上，就沒能夠以實驗非常精準地得到正確的答案。兩點之間的直線距離最短，但是下降的速度反而是最慢的，帶曲度的曲線下降速度會比較快；伽利略說他做過實驗，發現圓形曲線下降速度最快，但我們如今知道其實應該是擺線。劉老師同樣請木工師傅做了一組四軌模型，一如預期直線很明顯是下降速度最慢的，而初始斜度最陡峭的曲線軌道，也同樣合理但違反直覺地並非最速降曲線，真正的最速降曲線是擺線。擺線除了是最速降曲線以外，同時也是等時曲線，無論從擺線上的任何一個位置開始釋放滾球，最後抵達終點所需的時間都一樣，並不會因為行經距離較短而比較快抵達，這一點同樣可以由經過設計的軌道模型，得到實驗驗證。
伽利略以器求道，透過工具與思想實驗，分析直線落體運動距離與時間的平方比例關係，建立正確的理論。但他以同樣的方式進行曲線落體運動分析，卻因為受限於製作實驗器具的精準度，未能得到正確的結論，直到伯努利等數學家們透過理論推導，才建立了正確的曲線落體運動最速降軌道模型。實驗某種程度可以幫助我們驗證許多事情，但它並非追求真理的萬靈丹，實驗與理論相輔相成，必須要互為佐證，缺一不可。
＜中國古典益智遊戲＞
中國有許多古典的益智遊戲，如七巧板、九連環、幻方、華容道等，這些遊戲多涉及數學中的組合數學、拓樸學、幾何學、圖論等多門學科。本講次介紹這些益智遊戲的數學原理，以及如何以此進行數學教育。
講師：陳東賢｜勤益科技大學基礎通識教育中心教授
我們首先來介紹七巧板。七巧板是一種用七塊板來玩的拼圖益智遊戲，以各種不同的拼湊組合，展現千變萬化的圖案。有些學者認為七巧板最早可追溯至北宋進士黃伯思所著《燕几圖》，他設計了一套可以依照宴會需求排列的長方形桌几；類似的概念也可見於明代萬曆年間戈汕所著《蝶几譜》，一套 13 件小桌可拼湊出各種桌型。蝶几圖形幾經簡化後，就成為了七巧板，目前可找到最早關於七巧板的書籍，是清代嘉慶年間碧梧居士所著《七巧圖合璧》。七巧板大約從 18 世紀開始流傳到海外，先傳至日本、朝鮮， 19 世紀初期也開始見於歐美出版的圖書中；英國學者李約瑟在《中國科技史》中，更是指出七巧板是「東方最古老的消遣品之一」。
九連環是另一種中國古早的智力遊戲，它是由九個相同的圓環以及一把「劍」組成，遊戲目的是要把九個圓環全部套上或卸下。類似的概念或可追溯到《戰國策》中提到的一種玉連環，也有學者認為九連環是三國時代諸葛孔明發明的，宋代時已是民間相當普及的益智玩具。解九連環所需最少次數有其數學規律可循，把每解下一個環所需最少次數寫下來，便可看出每多卸下或套上一環所需次數，基本上有個兩倍的倍數增長，但是從奇數環到偶數環的時候要再加一次。
幻方是一種數字遊戲，將 1 到 n 平方的數字，填入 n * n 的方格中，形成一個縱橫以及對角線的和都相同的 n 階方陣。幻方最早見於洛書，宋代數學家楊輝在其著作《續古摘奇算法》中，首度提出了 13 個幻方；明代數學家程大位在《算法統宗》裡，轉載了楊輝所列幻方，又加上 5 階幻方與 6 階幻方各一；清代數學家張潮更在《心齋雜俎》中，把幻方的概念推廣到正立方體上。幻方可以利用鏡射或旋轉進行轉換，在數學上稱這些幻方為同構或同形；如果把同構或同形都當成同一種幻方，那麼 3 階幻方實際上只有一種，就是洛書的排列法，足見古人的智慧。
華容道則是一種滑塊類遊戲，其前身可能為唐宋時代的「重排九宮」遊戲，不過最早看到華容道的實物，是在 1940 年代的上海，因此很有可能是西方的滑塊類遊戲傳入中國，被改成以三國故事為題材，在地化的華容道。遊戲目的是要幫助曹操逃出華容道，觀察盤面後可歸納出幾個移動滑塊的原則；有學者以電腦演算法，驗證華容道解法的最少步數，是否為資料上記載的 81 步，這是以現代運算能力去研究古代數學遊戲的一個範例。