轉角遇到鬼—以有限大駕馭無窮小的epsilon-delta & 根號-1的故事

<轉角遇到鬼—以有限大駕馭無窮小的epsilon-delta>

微積分發展初期,使用直覺式的論證,雖然實務上解決了許多問題,但是也陷入邏輯上的困境,論證的過程甚至被批評是「看到鬼」。數學家後來以「 epsilon-delta 極限定義法」,解決直覺論證的邏輯問題。本講次除了介紹其來龍去脈之外,也舉出人類為了理解「無窮」這個概念,想出來的許多方法,一起來認識這個美麗深邃的世界。

講師:英家銘|國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系助理教授

每當人類文明從部落社會進入君主制國家時,對於數學的需求就會相對提高。農業國家一旦發展出按照土地徵稅的概念,丈量田地面積就會成為重要的國家工作;至於建造天文台、帝王陵寢、宗教建築等巨大工程,則需要計算各種不同類型的體積,以此估算所需的人力物力。這些計算面積與體積的具體需求,是數學發展重要的動力。

計算面積與體積的數學,具體來說是積分的範疇;小學數學就會教授的三角形面積與長方體體積算法,可說是最簡單的積分。但是諸如金字塔這樣的錐體,或是圓形以及拋物線旋轉體這種曲線體,由於它們不能分割成有限多個簡單的三角形或長方體,因此在計算其面積或體積時,就必須用上一些跟「無限」有關的思考方式。這些都是現實生活中會碰到的實際問題,然而無限的概念既不符合直覺,在邏輯上也很容易造成悖論,因此古希臘人在論證時,對於無限的概念總是避之唯恐不及。

這樣對於「無限」諱莫如深的態度,到了科學革命的時代,必須解決實際問題的科學家們,開始更勇於使用無限的概念加以論證。比方說費馬跟笛卡兒討論曲線的切線跟法線,克卜勒計算橢圓曲線內部的面積,牛頓研究行星運動的瞬間速度,這些問題都必須用上「極限」的思考。牛頓跟萊布尼茲在 17 世紀發展出來的「無窮小量計算法」 (infinitesimal calculus) ,後來歸結發展成為微積分的基礎,在 18 到 19 世紀廣泛應用於許多科學與工程計算,解決了許多過去無法解決的問題。

然而微積分這個既違反人類直覺,又難以論證的邏輯基礎,仍然難以說服許多哲學家與數學家。對於持疑者來說,這個既不是有限量,也不是無限小量,又不是空無的「漸漸消失的增量」,簡直像是「轉角遇到鬼」一樣難纏。這個難題在 19 世紀數學家柯西 (Augustin-Louis Cauchy) 、布爾扎諾 (Bernhard Bolzano) 、魏爾斯特拉斯 (Karl Weierstrass) 等人的努力之下,發展出 epsilon-delta 極限定義,讓整個論證過程全都是有限量的四則運算跟開方,完全避開無窮小量的麻煩處,因此成為現代微積分理論的基石。

 

<根號-1的故事>

以複數為基礎的複變函數,可應用於流體力學、熱力學、電磁學等領域,是實用性相當高的數學思維。然而根號 -1 這個違反人們直覺的概念,直到 19 世紀才正式為數學界所接納。本講次介紹以根號 -1 為代表,虛數與複數概念的發展歷史脈絡。

講師:蘇意雯|臺北市立大學數學系副教授

在國中的數學教學中,根號 -1 的答案是無解;到了高中代數,引進虛數 i 的概念之後,根號 -1 變成有解。我們實際上詢問高中同學對於虛數的看法,他們多半覺得虛數的概念虛幻不實,不知道這個「不存在」的數有什麼實際用途,似乎只是數學家為了方程式一定要有解,硬是創造出來自圓其說的東西。

這樣的困惑不是只有高中同學才有。 12 世紀印度傑出的數學家婆什迦羅 (Bhāskara II) ,就不相信有自乘等於 -1 這種數存在,也不鼓勵人們去進行「不切實際」的思考。 16 世紀義大利數學家卡丹諾 (Girolamo Cardano) ,有一次利用負數開根號進行運算時,也覺得良心不安,表示算數的發展「雖然精緻,卻不中用」。笛卡兒、牛頓跟萊布尼茲,更是認為負數的平方根是虛幻的,沒有實質意義,理性上不能接受。

第一位為虛數說話的,當數 16 世紀義大利代數學家邦貝力 (Rafael Bombelli) ,他在傳世著作《代數學》討論負數的平方根,利用卡丹諾發表的三次方程式解,發展出根號 -1 的運算法則,奠定了虛數理論的基石。 17 世紀法國數學家基拉德 (Albert Girard) ,則說我們可以藉著這些不可能的解,肯定一般代數法則,因此有其應用價值,不然除此之外也別無他解。 18 世紀偉大的數學家尤拉,也在他重要的代數著作《代數指南》中,說了「虛數 i 既不是 0 ,也不大於 0 或小於 0 」這樣微妙的敘述。

雖然尤拉等人想出了用複數平面上的點 (a,b) 來表示 a+bi 的方法,但是能夠明確地以幾何語言,描述複數四則運算的工作,則是由挪威測量員威塞 (Caspar Wessel) 完成的,他以向量的想法來描述複數的加法與乘法。 19 世紀的數學泰斗高斯,更是在他的研究工作裡嫻熟地運用複數,並且公開宣揚複數的幾何表示,使得複數的可信度大增。兩年前才剛過世的霍金,甚至提出了「虛數時間」的概念,他說這個聽起來像科幻題材的數學模型,不僅能夠導出許多已經觀測到的效應,甚至可以導出目前雖然尚未測量到,但我們深信存在的效應。

美國數學家赫希 (Reuben Hersh) 曾說過,數學就像一間出色的餐廳,顧客們在用餐區享用著乾淨且精心烹製的菜餚,數學家卻在水深火熱的廚房裡掙扎努力。由根號 -1 衍生出來的虛數與複數,其發展歷程正是這段比喻的完美詮釋。

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