數學 

發現最大質數

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這張圖的橫軸顯示的是年分，縱軸指的是對應年分所知的最大梅森質數的位數。(圖片出處: wikipedia)

撰文｜賴加翌

質數的定義我們都學過，它指的就是除了1和自身之外，無法被其他自然數整除的自然數，比如2， 3， 5， 7， 11， 13……等等。別看這幾個數似乎沒什麼特別，它們在數論裡非常重要，甚至有人說質數是數字的基石，因為其他的數字都可以看做是質數相乘的結果。

就在去年底，有一個令數學界為之振奮的發現：「網際網路梅森質數大搜索」（GIMPS）12月21日在網站上宣布，他們找到了目前最大的質數「282589933－1」！這是目前所知的第51個梅森質數。

其實就在前一年的2017年底，才剛發現了當時的最大質數「277232917－1」。那時候也造成轟動，因為這是一個高達23,249,425位數的天文數字──不是兩千多萬喔，是兩千多萬個「位數」！究竟它有多大呢？如果完整地寫下來，需要滿滿的 719 頁。日本出版社虹色社還真的把這個數字印成一本書出版，書名就叫《2017年最大質數》。全書內容只有一組數字：第 50 個梅森質數（Mersenne Prime）。如果你打開這本書，一瞬間只會看到灰灰的一片，再看仔細一點才會發現那些一行一行的都是數字。這本書售價大約520元新台幣，上架兩週後成了數學類最暢銷的排行榜第一名，還賣到斷貨。

●史詩級的搜索計畫

GIMPS這個搜索質數的計畫，是什麼時候開始的呢？他們從1996年至今，已經運作超過20年了。這麼長的時間裡，累積了許多志願者，他們貢獻自己電腦的運算能力，現在全世界有將近180萬顆CPU在運行GIMPS他們的軟件。計劃開始之後已經發現了17個梅森質數，新發現的梅森質數M82589933比一年前發現的M77232917多出了160幾萬個位數，而M77232917又比更前兩年發現的M74207281多出了91萬個位數。

參與這個計畫的方法其實很簡單，只要到GIMPS的網頁上下載專用的軟體，透過網路，誰都可以利用電腦空閒時間做計算。2018年12月最新的最大質數發現者還沒有公開，而上一次2017年的發現者，是美國一家運輸公司的員工。他的電腦CPU 是 Intel quad-core i5-6600，跟一般人家裡電腦的等級差不多。由此可知，並不是擁有頂級配備的人才能參與計畫。不過，用這台電腦檢驗這個超大數字，可是花了數天的時間。

使用GIMPS的軟體找質數，不只有趣還有獎金。為了鼓勵使用網路的用戶，協助解決科學問題，電子前哨基金會設立了獎項，準備發獎金給發現巨大質數的人。最高獎金25萬美元，將頒發給發現10億位數以上質數的人。GIMPS現在把目標放在第二高的獎金15萬，努力尋找1億位數以上的質數。如果獲獎，會把獎金均分配給用軟體發現的人、慈善團體和自身營運開支。

●神秘的梅森質數，到底有多少個？

質數有許多種形式，像「282589933－1」一樣具備「2n－1」型式的質數叫做梅森質數，這是為了紀念17世紀法國數學家馬蘭·梅森而命名。雖然連續兩年都有新的最大質數被發現，而且都是梅森質數，但別以為梅森質數很常見喔！到今天為止，被找到的只有 51個。有「2n－1」型式的數雖然有無限多個，但是它們幾乎都不是質數。我們發現 n 值增加的時候，「2n－1」是質數的機率就降低。

17世紀的時候梅森猜測，最大的梅森質數是M257，也就是「2257－1」。而且他認為符合梅森質數條件的質數只有11個。當時無法驗證M257是不是質數，但現在我們已經知道他的猜想不成立，他找到的梅森數裡面，經過檢驗有兩個不是質數，假想的天花板M257也不是質數。

早在公元前300年，數學家歐幾里德就知道質數有無限多個。也就是說，再大的質數後面，永遠還有一個比它更大的。但數學家還不知道，梅森質數是不是像質數一樣無限多個。單靠電腦不斷發現的梅森質數，可能無法解答這個疑問，但新的證據，就會產生新的猜測，或許接下來的發現能夠使我們在數論上有所突破。

●質數為什麼重要？

既然數學家早就知道質數有無限多個，那就不可能找到「最大質數」，那為甚麼還會有人對質數有興趣呢？

關於質數，我們不知道的事情太多了。在數論領域裡，研究質數的特性是其中一個非常重要的主題，許多尚未解決的問題也跟質數有關，包括有名的哥德巴赫猜想：「任何大於2的數字，都是兩個質數的和」。沒有人能證明這個猜想，目前只有人證明出：「如果反例存在，那麼這個數字至少有十九位數。」

質數不遵循任何簡單規則，就像看心情隨機分佈一樣，因此和質數有關的數學難題都非常棘手。不斷地挑戰這些難題，有助促進科學發展，以前也有人覺得數論沒有什麼用，但今天的加密技術都少不了它。

 

參考資料：

  1. Sue Gee, A New Mersenne Prime Discovery. i-programmer. 2018
  2. Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), GIMPS project discovers largest known prime number. phys.org. 2018
  3. Kenneth Chang, New Biggest Prime Number = 2 to the 74 Mil ... Uh, It’s Big. The New York Times. 2016
  4. Sunil K.Chebolu, KeirLockridge, &Gaywalee, Characterizations of Mersenne and 2-rooted primes. Finite Fields and Their Applications, 35, 330-351. 2015
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