發現最大質數

這張圖的橫軸顯示的是年分,縱軸指的是對應年分所知的最大梅森質數的位數。(圖片出處: wikipedia)

撰文|賴加翌

質數的定義我們都學過,它指的就是除了1和自身之外,無法被其他自然數整除的自然數,比如2, 3, 5, 7, 11, 13……等等。別看這幾個數似乎沒什麼特別,它們在數論裡非常重要,甚至有人說質數是數字的基石,因為其他的數字都可以看做是質數相乘的結果。

就在去年底,有一個令數學界為之振奮的發現:「網際網路梅森質數大搜索」(GIMPS)12月21日在網站上宣布,他們找到了目前最大的質數「282589933-1」!這是目前所知的第51個梅森質數。

其實就在前一年的2017年底,才剛發現了當時的最大質數「277232917-1」。那時候也造成轟動,因為這是一個高達23,249,425位數的天文數字──不是兩千多萬喔,是兩千多萬個「位數」!究竟它有多大呢?如果完整地寫下來,需要滿滿的 719 頁。日本出版社虹色社還真的把這個數字印成一本書出版,書名就叫《2017年最大質數》。全書內容只有一組數字:第 50 個梅森質數(Mersenne Prime)。如果你打開這本書,一瞬間只會看到灰灰的一片,再看仔細一點才會發現那些一行一行的都是數字。這本書售價大約520元新台幣,上架兩週後成了數學類最暢銷的排行榜第一名,還賣到斷貨。

●史詩級的搜索計畫

GIMPS這個搜索質數的計畫,是什麼時候開始的呢?他們從1996年至今,已經運作超過20年了。這麼長的時間裡,累積了許多志願者,他們貢獻自己電腦的運算能力,現在全世界有將近180萬顆CPU在運行GIMPS他們的軟件。計劃開始之後已經發現了17個梅森質數,新發現的梅森質數M82589933比一年前發現的M77232917多出了160幾萬個位數,而M77232917又比更前兩年發現的M74207281多出了91萬個位數。

參與這個計畫的方法其實很簡單,只要到GIMPS的網頁上下載專用的軟體,透過網路,誰都可以利用電腦空閒時間做計算。2018年12月最新的最大質數發現者還沒有公開,而上一次2017年的發現者,是美國一家運輸公司的員工。他的電腦CPU 是 Intel quad-core i5-6600,跟一般人家裡電腦的等級差不多。由此可知,並不是擁有頂級配備的人才能參與計畫。不過,用這台電腦檢驗這個超大數字,可是花了數天的時間。

使用GIMPS的軟體找質數,不只有趣還有獎金。為了鼓勵使用網路的用戶,協助解決科學問題,電子前哨基金會設立了獎項,準備發獎金給發現巨大質數的人。最高獎金25萬美元,將頒發給發現10億位數以上質數的人。GIMPS現在把目標放在第二高的獎金15萬,努力尋找1億位數以上的質數。如果獲獎,會把獎金均分配給用軟體發現的人、慈善團體和自身營運開支。

●神秘的梅森質數,到底有多少個?

質數有許多種形式,像「282589933-1」一樣具備「2n-1」型式的質數叫做梅森質數,這是為了紀念17世紀法國數學家馬蘭·梅森而命名。雖然連續兩年都有新的最大質數被發現,而且都是梅森質數,但別以為梅森質數很常見喔!到今天為止,被找到的只有 51個。有「2n-1」型式的數雖然有無限多個,但是它們幾乎都不是質數。我們發現 n 值增加的時候,「2n-1」是質數的機率就降低。

17世紀的時候梅森猜測,最大的梅森質數是M257,也就是「2257-1」。而且他認為符合梅森質數條件的質數只有11個。當時無法驗證M257是不是質數,但現在我們已經知道他的猜想不成立,他找到的梅森數裡面,經過檢驗有兩個不是質數,假想的天花板M257也不是質數。

早在公元前300年,數學家歐幾里德就知道質數有無限多個。也就是說,再大的質數後面,永遠還有一個比它更大的。但數學家還不知道,梅森質數是不是像質數一樣無限多個。單靠電腦不斷發現的梅森質數,可能無法解答這個疑問,但新的證據,就會產生新的猜測,或許接下來的發現能夠使我們在數論上有所突破。

●質數為什麼重要?

既然數學家早就知道質數有無限多個,那就不可能找到「最大質數」,那為甚麼還會有人對質數有興趣呢?

關於質數,我們不知道的事情太多了。在數論領域裡,研究質數的特性是其中一個非常重要的主題,許多尚未解決的問題也跟質數有關,包括有名的哥德巴赫猜想:「任何大於2的數字,都是兩個質數的和」。沒有人能證明這個猜想,目前只有人證明出:「如果反例存在,那麼這個數字至少有十九位數。」

質數不遵循任何簡單規則,就像看心情隨機分佈一樣,因此和質數有關的數學難題都非常棘手。不斷地挑戰這些難題,有助促進科學發展,以前也有人覺得數論沒有什麼用,但今天的加密技術都少不了它。

 

參考資料:

  1. Sue Gee, A New Mersenne Prime Discovery. i-programmer. 2018
  2. Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), GIMPS project discovers largest known prime number. phys.org. 2018
  3. Kenneth Chang, New Biggest Prime Number = 2 to the 74 Mil ... Uh, It’s Big. The New York Times. 2016
  4. Sunil K.Chebolu, KeirLockridge, &Gaywalee, Characterizations of Mersenne and 2-rooted primes. Finite Fields and Their Applications, 35, 330-351. 2015
3,597 人瀏覽過