最有效率的形狀
撰文｜賴加翌
●自然界和生活中的六角型
自然界中的許多現象，都令充滿科學知識的我們讚嘆不已，比如說蜜蜂的蜂巢。從它的結構裡可以看到很整齊的正六角形，每一個巢房是由正六角形的中空柱狀空間組成，巢房之間背對背對稱排列。牠們為何要用六角形來做巢呢？蜜蜂分泌蜂蠟來築巢，需要花粉和蜂蜜才能產生蜂蠟，如何節省材料，讓使用空間最大化就是重要課題。正六角形結構除了節省材料、容積最大以外，以力學角度來看，它的結構各方受力大小均等，結構最緻密。不懂數學的蜜蜂，竟然憑本能地做了最恰當的選擇！
生活中的正六角形其實不少，當我們在餐廳抓一把圓形筷子，就會發現每一個圓的周圍，都有六個圓相接，六個圓就可以當做是正六角形；在古早的雜貨店，可以觀察到那些被綑綁的回收玻璃瓶，一打12罐綑在一起，排列的形狀相當規律，仔細觀察就可以看出這些玻璃瓶的瓶口，可以連成三個共邊的六角形；在化學上，受到共振效應的苯C6H6是正六角形結構；常見的鉛筆，筆芯裡頭的石墨是六角形層狀排列；冰箱裡的冰塊，水分子受到氫鍵吸引，冰晶的結構也是正六角形。
●鋪磚工人的選擇
這個六角形的問題，也延伸到裝潢方面。以前的鋪磚的工人需要考慮，究竟要用什麼形狀的磁磚，來鋪設浴室或廚房的地板。從實用性來考量，就會延伸出進一步的問題：什麼形狀的磁磚，可以用最短的周長，來鋪設出和其他形狀磁磚相同的面積？
鋪磚的工人有許多的選擇，包括三角形、正方形、五角形、六角形、七角形、八角形等等。但是他很快地就會發現，如果用五角形來鋪設地板，就會出現不少縫隙，當你一塊接著一塊拼下去的時候，無法接得天衣無縫，七角形、八角形和其他大多數的正多邊形也是一樣，無法拼出沒有縫隙的地面。所以真正能夠選擇的，其實相當有限。早在畢達哥拉斯的時期，就知道所有的正多邊形裡，只有三角形、正方形和六角形可以鋪滿一個平面而不留下空間。
以上這三種選擇裡，如果以一百平方公分的面積來算，三角形磁磚的周長是四十五公分，正方形的磁磚周長是四十公分，六角形磁磚的周長是三十七公分。也就是說，六角形是最有效率的正多邊形。
但是如果我們可以鋪設任何形狀的磁磚，不用正多邊形去考慮的話呢？甚至每個磁磚的各個邊，如果不是直線的話呢？六角形還是最好的答案嗎？早在西元前180年，古希臘數學家就證明出以下兩點：（1）所有周長固定的N邊形，以正N邊形的面積最大，而且N越大面積就越大。（2）當周長固定時，圓的面積大於所有正多邊形。所以我們知道在相同面積的所有幾何形狀中，圓形的周長最短。雖然圓形無法鋪滿一塊地，但如果這個形狀只有某幾個邊是圓角，是不是能夠得到比正六角形更短的周長？我們開始把邊長是外凸或內凹的情況也考慮進去。
●數學家的證明
波蘭數學家雨果·史坦豪斯證明在磁磚形狀相同的前提下，就算考慮不規則形，用正六角形鋪設地板得到的周長最短。匈牙利數學家拉茲洛·費耶·托斯證明就算整片地板可以有不同形狀磁磚，正六角形鋪設地板得到的周長還是最短，但他的證明忽略了邊緣不是直線的磁磚。
直到1998年數學家黑爾斯才提出完整的證明。他將無限大的地板面積分割成有限大小，然後用式子把磁磚的面積和周長做連結。接著他考慮到外凸磁磚的情況，每一塊外凸磁磚就必須有另一塊內凹磁磚與其相接，他證明出內凹磁磚需要的周長比外凸磁磚所省下的周長還要長。所以用總周長來看，有圓角的多邊形其實並不是最好的選擇，最有效率的形狀仍然是正六角形！
參考資料：
- Zhenqian Pang, Xiaokun Gu, Yujie Wei, &Ronggui Yang, Electronic band structure of carbon honeycombs. Materials Today Physics, 5, 72-77. 2018
- Michael Ryvkin, &Raz Shraga, Fracture toughness of hierarchical self-similar honeycombs. International Journal of Solids and Structures, 152–153, 151-160. 2018
- Hanfeng Yin, Xiaofei Huang, Fabrizio Scarpa, Guilin Wen, Yanyu Chen, &Chao Zhang, In-plane crashworthiness of bio-inspired hierarchical honeycombs. Composite Structures, 192, 516-527. 2018
- Stacy George, Why Are Honeycomb Cells Hexagonal. Science Friday. 2017
