最有效率的形狀

圖片出處: photo-ac.com

撰文|賴加翌

●自然界和生活中的六角型

自然界中的許多現象,都令充滿科學知識的我們讚嘆不已,比如說蜜蜂的蜂巢。從它的結構裡可以看到很整齊的正六角形,每一個巢房是由正六角形的中空柱狀空間組成,巢房之間背對背對稱排列。牠們為何要用六角形來做巢呢?蜜蜂分泌蜂蠟來築巢,需要花粉和蜂蜜才能產生蜂蠟,如何節省材料,讓使用空間最大化就是重要課題。正六角形結構除了節省材料、容積最大以外,以力學角度來看,它的結構各方受力大小均等,結構最緻密。不懂數學的蜜蜂,竟然憑本能地做了最恰當的選擇!

生活中的正六角形其實不少,當我們在餐廳抓一把圓形筷子,就會發現每一個圓的周圍,都有六個圓相接,六個圓就可以當做是正六角形;在古早的雜貨店,可以觀察到那些被綑綁的回收玻璃瓶,一打12罐綑在一起,排列的形狀相當規律,仔細觀察就可以看出這些玻璃瓶的瓶口,可以連成三個共邊的六角形;在化學上,受到共振效應的苯C6H6是正六角形結構;常見的鉛筆,筆芯裡頭的石墨是六角形層狀排列;冰箱裡的冰塊,水分子受到氫鍵吸引,冰晶的結構也是正六角形。

●鋪磚工人的選擇

這個六角形的問題,也延伸到裝潢方面。以前的鋪磚的工人需要考慮,究竟要用什麼形狀的磁磚,來鋪設浴室或廚房的地板。從實用性來考量,就會延伸出進一步的問題:什麼形狀的磁磚,可以用最短的周長,來鋪設出和其他形狀磁磚相同的面積?

鋪磚的工人有許多的選擇,包括三角形、正方形、五角形、六角形、七角形、八角形等等。但是他很快地就會發現,如果用五角形來鋪設地板,就會出現不少縫隙,當你一塊接著一塊拼下去的時候,無法接得天衣無縫,七角形、八角形和其他大多數的正多邊形也是一樣,無法拼出沒有縫隙的地面。所以真正能夠選擇的,其實相當有限。早在畢達哥拉斯的時期,就知道所有的正多邊形裡,只有三角形、正方形和六角形可以鋪滿一個平面而不留下空間。

以上這三種選擇裡,如果以一百平方公分的面積來算,三角形磁磚的周長是四十五公分,正方形的磁磚周長是四十公分,六角形磁磚的周長是三十七公分。也就是說,六角形是最有效率的正多邊形。

但是如果我們可以鋪設任何形狀的磁磚,不用正多邊形去考慮的話呢?甚至每個磁磚的各個邊,如果不是直線的話呢?六角形還是最好的答案嗎?早在西元前180年,古希臘數學家就證明出以下兩點:(1)所有周長固定的N邊形,以正N邊形的面積最大,而且N越大面積就越大。(2)當周長固定時,圓的面積大於所有正多邊形。所以我們知道在相同面積的所有幾何形狀中,圓形的周長最短。雖然圓形無法鋪滿一塊地,但如果這個形狀只有某幾個邊是圓角,是不是能夠得到比正六角形更短的周長?我們開始把邊長是外凸或內凹的情況也考慮進去。

●數學家的證明

波蘭數學家雨果·史坦豪斯證明在磁磚形狀相同的前提下,就算考慮不規則形,用正六角形鋪設地板得到的周長最短。匈牙利數學家拉茲洛·費耶·托斯證明就算整片地板可以有不同形狀磁磚,正六角形鋪設地板得到的周長還是最短,但他的證明忽略了邊緣不是直線的磁磚。

直到1998年數學家黑爾斯才提出完整的證明。他將無限大的地板面積分割成有限大小,然後用式子把磁磚的面積和周長做連結。接著他考慮到外凸磁磚的情況,每一塊外凸磁磚就必須有另一塊內凹磁磚與其相接,他證明出內凹磁磚需要的周長比外凸磁磚所省下的周長還要長。所以用總周長來看,有圓角的多邊形其實並不是最好的選擇,最有效率的形狀仍然是正六角形!

 

參考資料: 

  1. Zhenqian Pang, Xiaokun Gu, Yujie Wei, &Ronggui Yang, Electronic band structure of carbon honeycombs. Materials Today Physics, 5, 72-77. 2018
  2. Michael Ryvkin, &Raz Shraga, Fracture toughness of hierarchical self-similar honeycombs. International Journal of Solids and Structures, 152–153, 151-160. 2018
  3. Hanfeng Yin, Xiaofei Huang, Fabrizio Scarpa, Guilin Wen, Yanyu Chen, &Chao Zhang, In-plane crashworthiness of bio-inspired hierarchical honeycombs. Composite Structures, 192, 516-527. 2018
  4. Stacy George, Why Are Honeycomb Cells Hexagonal. Science Friday. 2017

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