《宇宙的顫抖：談愛因斯坦的相對論和引力波》推薦文

撰文｜丘成桐 教授

傑信是內人在臺灣大學的同學，我們認識很久了。他任職美國航太總署多年，在太空科學深耕細種，以其獨到的見解獲奬無數，尤其值得敬佩的是，傑信有暇時從事科普寫作，對於喜愛科學的普羅大眾，有莫大的裨益。最近他寫了一本書，名叫'宇宙的顫抖'，由另外一位物理學家，也是內人的同學朱國瑞轉贈給我，我讀了以後，驚喜莫名，光從書本的名字就可以窺見作者的卓識。我研習廣義相對論已經四十多年了，初次看到物理學家用這麼客觀的態度和漂亮的文筆，深入淺出地介紹廣義相對論，不單止從物理學的觀點講述廣義相對論的起源和它的物理意義，更難得的是作者也中肯地指出數學家在廣義相對論上的重要貢獻。

愛因斯坦一九一五年的偉大工作，曾得到不少幾何學家的幫助，這是我多年來深深的體會。除了書中提到的 Grossmann 和 Hilbert 外，還要溯源到十九世紀大數學家黎曼對於空間概念的劃時代貢獻。在黎曼以前，空間只有三種：歐氏空間，球空間和雙曲空間，都可以用一個坐標系統來描述。黎曼卻在一八五四年的著名論文中徹底的改變了空間的觀念，他的空間和上述三種空間完全不同，它可以孤立地存在，在小範圍內，它和歐氏空間類似。我們可以用各種不同的坐標系統去描述黎曼空間的特性，但空間裡有意義的性質必須和坐標選取無關。這個看法很重要，因為這就是廣義相對論中重要的等價原理。黎曼在他引進的抽象空間中定義了曲率，廣義相對論中的重力場就是由曲率來量度的，而物質的分佈則由曲率的一部份來表示。物質的分佈隨時間的推移變化，曲率也隨之，這些變化使時空'顫抖'，愛因斯坦從此得出結論：引力波雖然微小，卻會出現。在愛因斯坦的方程描繪下，引力場和時空的幾何不可分割，儼然一物。

值得注意的是，黎曼當時已經指出，他的空間是用來暸解物理現象的。他甚至提出空間中極小的和極大的部分應該用不一樣的方法來描述。從近代物理的觀點來看，黎曼在找尋量子空間的可能結構！黎曼曾經考慮過離散空間對解釋這個問題會不會有幫助。黎曼從二十五歲開始著作，三十九歲時得了肺病去世。去世前三年，他每年要到義大利去避寒，因而影響了一批義大利和瑞士的幾何學家，其中出色的有 Christoffel，Ricci 及 Levi-Civita等。他們推廣了黎曼的想法，嚴格定義了張量和連絡，兩者都是廣義相對論和規範場不可或缺的。Ricci 引進了Ricci 曲率張量，並且證明從這個張量可以產生一個滿足守恆定律的張量。這些工作都由幾何學家在十九世紀中葉到後葉完成的，恰好給廣義相對論提供了最主要的工具。

愛因斯坦在一九三四年寫了一篇文章 ＂Notes on the origin of the general theory of relativity＂（見 Mein Weltbild, Amsterdam : Querido Verlag），在這篇文章裡，他回顧了發展廣義相對論的心路歷程。第一階段當然是狹義相對論，這個理論的主要建構者除了愛因斯坦本人外，還有 Lorentz 和 Poincaré。 一個極為重要的結果是距離受到時間的影響。但是愛因斯坦已經瞭解到狹義相對論和牛頓引力理論的 action at a distance 是不相容的，所以必須要矯正！剛開始物理學家沒想到空間的概念經過黎曼的突破後已經有了根本性的改變，他們還在三維空間的架構上，企圖修正牛頓的引力理論來符合剛發現的狹義相對論。這個想法讓愛因斯坦誤入歧途三年之久！愛因斯坦在蘇黎世讀書時，他的數學教授是和Hilbert 、 Poincaré 齊名的 Minkowski。他說，我班上有個懶惰的學生最近做了一個重要的工作，讓我用幾何的觀點去解釋它。在一九零八年的論文中，Minkowski 構造了一個四維空間，參照黎曼的方式引進了一個度量張量，完美無缺地解釋了狹義相對論。狹義相對論中對稱群很自然地成為 Minkowski空間的對稱群。

這篇文章讓人類第一次曉得我們生活在四維時空中。愛因斯坦一九零八年得到他一生最重要的啟示，他看到 Minkowski 論文的重要性。一般認為愛氏在這年最重要的思想是他的 thought experiment 。這個當然重要，但是我認為這是愛氏在企圖消化 Minkowski 理論的一個心路過程！ 為什麼 Minkowski 的文章這麼重要 ? 從三維空間到四維空間，不單是概念上的一大躍進，有了四維空間，新的引力場才有足夠的空間來展現它的動態現象。牛頓的引力理論是靜態的，只要一個函數就足夠描述引力現象。Minkowski 卻指出了一個新的觀點，即我們需要用一個張量才能完滿地描述引力場。Minkowski 的張量完美地描述了狹義相對論，但愛氏要進一步將牛頓力學和 Minkowski 空間結合，所以他想像中的時空在極度小的範圍內必須和Minkowski 的張量相當。當時物理學家對張量的觀念一無所知，（事實上也只有一小部分的幾何學家懂得張量分析。)愛因斯坦從等價原則中隱約地知道他需要類似張量的工具，但是並不淸楚。於是他向同學 Marcel Grossmann 求救，終於搞清楚引力場應該由尺度張量來描述。這個張量在時空中不斷變化，但是在每一點上，它可以由 Minkowski 尺度作一階逼近。Grossmann 是學幾何的，他念大學時曾經幫忙愛因斯坦做數學習題。但是單引入尺度張量這個觀念還是不夠描述引力場，我們需要知道如何在非平坦的空間裡進行微分，同時要求微分的結果和坐標選取無關（等價原則的要求）。這就是 Christoffel 和 Levi Civita 的連絡理論。愛因斯坦在他上述的廣義相對論的回憶録中說這是他的第一個問題，發現早已被 Levi Civita 和 Ricci 解決了。愛氏第二個問題是在這個框架上，如何推廣牛頓的引力方程。牛頓的方程很簡單，即引力勢的兩次導數等於物質密度。當時愛氏和Grossmann 都不知道如何對尺度張量微分，使得出來的結果和坐標選取無關，即是說，它必須要是某種張量。在愛氏的苦苦要求下，Grossmann 勉為其難，終於在圖書館裡找到 Ricci 有關張量的文章，原來 Ricci早已將黎曼的曲率張量收縮成為一個對稱的二階張量，它和尺度張量有相同的自由度，可以看作是尺度張量的二次微分。愛氏知道後大喜若狂，將它看作方程的左手部分，右手部分則是一般物質分佈的張量，（在平坦空間上，這個張量早已發展成熟。）於是乎愛因斯坦和 Grossmann 一九一二年和一三年發表了兩篇文章，提出了這個方程式。

好事多磨，當愛氏嘗試用漸近方法來解這個方程時，卻得不到他企圖解釋的天文現象，這使他很沮喪。在往後的一段日子中，為了解釋天文現象，他嘗試選擇特殊坐標，實質上放棄寶貴而簡潔的等價原則。他和 Levi Civita 多次通信，都無補於事。直到一九一五年春，他到 Göttingen 訪問偉大的數學家 David Hilbert，情況才有了新的進展。Hilbert 當然深懂幾何學，但是最重要的是他是現代幾何不變數理論的創始人。圍繞著他的都是一代大師，除了 Felix Klein 擅長於用對稱群來分類幾何學外，Hilbert 的學生 Hermann Weyl 是規範場理論的奠基人，還有歷史上最偉大的女數學家 Emmy Noether，當時也在 Göttingen，正在發展以後以她命名的 Noether current 理論。愛氏的訪問可謂適逢其會！Hilbert 在同年十月就發現了 Hilbert action , 從這個 action 很快便能推導出正確的引力方程。愛氏在得知這個消息和收到 Hilbert 的明信片後，也很快的得到他的方程，並且基於這個方程，推算出他一直想解決的天文問題。開始時，愛氏對 Hilbert的捷足先登很不高興，但是Hilbert 很快地宣佈這個工作應該完全屬於愛氏，愛因斯坦才轉憂為喜。這是劃時代的工作，後世的物理學家和數學家都應該向愛因斯坦致以最崇高的敬意。但是希望大家不要忘記一批幾何學家背後的功勞！我講的大部分都在上述的愛因斯坦文章提到，可惜的是他沒有提到 Hilbert 的貢獻。

值得注意的是，愛氏和 Grossmann 一九一二年寫下的方程，在沒有物質分佈的時候，其實是正確的。他們大可以用這個方程推導出 Schwarzchild 的著名的方程解，這個解已經足夠愛氏做他要的天文計算了。從這裡可以見到 Grossmann 對廣義相對論的貢獻是極為重要的，可惜他的名字沒有得到應有的注意，我覺得這是不公平的。但是有一點也要怪Grossmann 自己不用心，他沒有仔細參考文獻。其實 Ricci 早已發現愛氏方程的左手部分，並且知道只有這樣的組合才滿足守恆定律。守恆定律是物理上極為重要的定律，畢竟方程的右手部分已經知道滿足守恆定律，所以左手部分也必須滿足它。從這個角度看，這個方程應該在一九一二年前就可以被發現。之所以沒被發現，是因為愛氏沒有深入去暸解一九一二年的方程左手並不完美，而堅持解釋物理現象比瞭解幾何的內在美更為重要。

完成廣義相對論後，愛氏改變了他的觀點，現在他認為物理學最基本的部分應該由數學和 thought experiment 來指引。他在文章結尾時說，找到廣義相對論的方程後，一切都來得這麼自然，而又這麼簡單，對一個有能力的學者來說，是輕而易舉的事。但是在找到真相前，他費盡心思，經過長年累月的努力，飽受日夜的煎熬，其中艱辛實不足為外人道。愛因斯坦這項工作可說是人類有史以來最偉大的科學工作，這段經歷由傑信這本書娓娓道來，對於一般有志於科學的朋友來說，定會啟發良多，我很樂意的推薦給大家。

書籍資訊：

書名：《宇宙的顫抖：談愛因斯坦的相對論和引力波》
作者： 李傑信
出版社：國立臺灣大學出版中心
ISBN：9789863502609