電導率、弱局域化、與量子混沌(下)

■在上文中我們提及,物質波間的干涉會減弱系統的電導率,在本文中我們討論混沌現象(Chaos)[1]如何對這個減弱這個局域化的效應。

撰文|蕭維翰

回顧前文,我們對於計算固態系統中電導率的方法稍作了討論,指出 Drude 圖像給出古典的計算結果。然後我們討論次一階的量子修正,說明在某些路徑上傳遞的物質波可以建設性干涉,放大粒子在運動時回到原點的機率,等效而言增強電阻、削弱電導,此現象稱為弱局域化(weak localization)。

從時間尺度來看,Drude 圖像中有一個弛豫時間(relaxation time)對應散射間平均時間間隔。弱局域化問題中有一個相干時間(coherence time)用以標明物質波失去相干性需要的時間長度。

另外我們也有空間尺度,弛豫時間乘上費米速度定義了平均自由徑(transport mean free path),是「有效」散射之間平均的空間間隔[2]。物質波的波包大小可用德布羅伊波長代表。所謂的準古典,意指後者比前者小得多,所以物質波看起來跟粒子相異不大。

在本文中,我們將討論另一種對電導的修正,以及它所對應的時間尺度。

從前文到現在,我們一直說帶電粒子可以跟晶格、雜質碰撞跟散射,但一直被遮起來的訊息是這些東西的特徵,比如說他們的大小。事實是前述的計算大多是考慮點狀的雜質,也就是遠小於物質波波包大小的尺度,這個假設的好處是我們很清楚擴散方程式的解,所以可以計算出一些乾淨的答案。倘若這些與粒子散射的物體比波包大得多,擴散方程得到的解是有疑慮的。

圖一:當散射體(灰色球)的尺寸遠大於物質波的波包,散射的過程看起來也像是古典碰撞問題。本圖中畫出一種軌跡(我用紅色代表去程藍色代表回程),它的初位置與末位置很靠近,但初速度與末速度反平行,在非常靠近在初段與末段的區域(綠框內)擴散方程式不適用。

更精確地說,在擴散方程式中一個假設是沒有記憶效應,也就是粒子在運動過程中可能跟同一個物體發生過很多次碰撞,但這些碰撞被視為獨立事件。當這些散射體很大的時候,粒子的物質波包運動看起來就像古典粒子,我們可以考慮一種過程,即初速度與末速度反平行,但初位置與末位置只差一點點(如圖一所示)。這種運動的初段與末段,處於幾乎一樣的環境中,依循幾乎一樣的軌跡,似乎沒什麼道理說這兩段是無關聯的,這便是擴散假設的不適用處。

從另外一個角度看,我們有兩條路徑,一個從初位置出發(圖一中紅虛線),一路經過很長的時間帶著與初動量反平行的末動量來到末位置,第二條路徑(圖一中藍虛線)從末位置出發,帶著與前者一路相反的動量來到初位置。這兩條路在一開始時是密切相關的,擴散假設不適用; 直到它們之間的距離比散射體的尺寸大,乃至於到達平均自由徑的尺寸,此後的碰撞可以由擴散方程式描述。

以一句話摘要這個故事:初始條件相似的兩路徑,很快的分離並失去關聯。豈不是所謂混沌現象的特徵?

也因此這邊出現了一個新的時間尺度,叫做埃倫費斯特時間(Ehrenfest time),它正比於散射體大小與德布羅伊波長比值的對數,時間的單位則是李亞普諾夫指數(Lyapunov exponent)分之一。[3]物理上對於這個時間的詮釋是,原本的物質波波包透過指數成長長大成散射體大小的時間。也就是從不適用到適用擴散方程需要的時間尺度。

要從這個單一路徑的故事決定電導,回憶費曼說的話,當一個粒子從 if ,我們必須加總所有可能的路徑來決定機率,如果兩路徑間長度差異過大,則因為相位差異太大基本上不相干,就像在上集中討論的,我們必須找出一些可以建設性干涉的軌跡對,我們將這樣的軌跡(紅色實線與藍色虛線)畫在圖二中,這兩個軌跡幾乎是一模一樣的,只是在 A 處,紅色線跟自己平行而過而藍線與自己相交。使得在 B 區,紅與藍的關係便像是前面兩段討論的兩路徑一樣,而根據上一集的論述,在B區,藍軌跡與他的倒帶版本紅軌跡有建設性干涉。

將這些軌跡的貢獻加總,我們會發現:如果相干時間小於埃倫費斯特時間,則局域化的效果是被減弱的。物理上來說,必須等物質波的波包成長到散射體的大小,弱局域化才會開始顯著,假若在這之前,物質波已經因為非彈性散射失去了相干性,就沒有後續的局域化現象。

現在在介觀物理中,實驗學家已經有辦法設計大散射體尺寸的系統,因為上面的研究與可觀測量電導率直接相關,透過量測,我們有機會去實驗量測在古典系統中不易分析的李雅普諾夫指數。

圖二:計算量子混沌的修正時考慮的路徑, a 代表散射體的大小。B 區紅色實線與藍色虛線的干涉狀況,就像圖一中考慮的路徑。

註解:

[1] 關於混沌的基本概念,也可以回溯探索講座第15期:秩序與複雜的華爾滋

[2] 有效這兩個字很重要,不然底下讀者可能會覺得明明一直在碰撞跟散射,而感到混淆。

[3] 在混沌問題中,李雅普諾夫指數決定兩軌跡分離的速率,正的值愈大,整個系統對於初始條件愈敏感。

 

參考資料:L. Aleiner, A. I. Larkin, Divergence of classical trajectories and weak localization, Phys. Rev. B, 54, 14423 (1996).

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作者:蕭維翰,臺大物理系畢業後逃到芝加哥,吹風吹雪之餘,做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看,只能在密西根湖旁揀一方堤岸,偽裝成看海的人。科教中心特約寫手,從事科普文章寫作。

 

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