【大宇宙小故事】06 一字之差

撰文|葉李華

定理(theorem)與定律(law)這兩個名詞雖然只差一個字,意義卻是天差地遠。如果沒有英文可供對照,我們要如何自立自強呢?

●可以不可以

先介紹一個口訣:「定理可以證明,定律可以推翻」。當然你也能反過來說:「定理不可推翻,定律不可證明。」

定理為何可以證明?因為它是一種邏輯結構,所以能用邏輯推導出來,而推導的過程就是所謂的證明。例如歐幾里得在兩千多年前,就用歸謬法證明出「質數有無限多」這個定理。

定理為何不可推翻?因為邏輯中的對錯是絕對的,一旦被證明是對的,就一定不會錯了(所以千萬別試著用任何方法尋找「最大的質數」)。

定律為何不可證明?因為定律是根據自然現象歸納出的大致規律,並非邏輯推導出的結果。例如「凡哺乳類皆為胎生」就曾經是生物學家歸納出的定律。

定律為何可以推翻?因為歸納法所得到的結果都可能有漏洞,只要出現一個漏洞或反例,這個定律就被推翻了(十八世紀末才被發現的「針鼴」與「鴨嘴獸」便是上述定律的反例)。

接下來請大家想想,「地球是圓的」這個敘述是定理還是定律?

如果你說是定理(因為已被麥哲倫的船隊證明),抱歉你答錯了。但如果你說是定律(因為它是自然現象),很抱歉,還是答錯了!

正確答案是:它既非定理也並非定律,只能算是一件獨立的「事實」。

麥哲倫的船隊的確證明了地球是圓的,但他們所用的方法不是邏輯,而是實作,所以其實應該說他們是驗證了這項事實。同理,如果律師在法庭上證明某人無罪,他也只是澄清了一件事實,而不是證明出一個定理。

至於為何一直強調「麥哲倫的船隊」,則是因為麥哲倫本人並未完成環繞地球的壯舉。正所謂壯志未酬身先死,公元1521年,他於航行途中在菲律賓遭原住民殺害,好在他的船員替他完成遺願,從菲律賓沿印度洋返回歐洲,麥哲倫才得以名留青史。

●從事實到定律

如果我們將「地球是圓的」擴充成「行星是圓的」,這樣的一般性論述才算是定律。而既然是定律,就不可能證明了。

若想用實作來證明「行星是圓的」,你必須把宇宙中所有的行星都檢查一遍,那當然是不可能的事──即使理論上也不可能,因為別人永遠可以質疑:你如何確定沒有漏網之魚?

反之,「行星是圓的」這個定律不但有可能被推翻,事實上已經被推翻了。因為天文學家早就觀測到,太陽系中的「微型行星」(minor planet, 小行星為其中的一支)有許多都不是圓的。既然有反例,這個定律當然無法成立了。

小行星243與其衛星(圖像來源:NASA/JPL)
小行星243與其衛星(圖像來源:NASA/JPL)

如果你認為微型行星太小,應當排除在外,於是稍加修改這個定律,將它改成「夠大的行星都是圓的」,那麼恭喜恭喜,你終於得到一個定律,因為天文學家至今仍未找到任何反例。不過,我們也只能說這個定律很可靠,絕對不能說它是正確的。

請務必記住,世上根本沒有「正確的定律」,正如同沒有「錯誤的定理」。

萬一你在某處讀到「這個定理後來被證明是錯的」,其實作者真正的意思是「這個猜想後來被證明是錯的」。因為尚未證明的論述根本不是定理,只能稱為猜想或猜測。

這方面的例子不算少,最有名的應該是數學中的「哥德巴赫猜想」。可別以為它有多麼深奧,恰恰相反,連小學生都看得懂!

哥德巴赫猜想的內容如下:任何大於二的偶數,都能寫成兩個質數之和。例如 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5...

雖然內容簡單無比,可是自從哥德巴赫於1742年提出這個猜想,至今沒有任何人想出正確的證明。另一方面,也沒有人敢說這個猜想不對,因為直到目前為止,誰也找不到一個反例。

千萬別以為數學家不夠努力,他們已經用電腦找遍了四百萬兆(4×1018)以下的偶數,沒有發現任何例外!

不過,這個猜想的前提是「任何大於二的偶數」,所以無論你找出多少正確的例子,也只能算是「佐證」,只能增加數學家的信心,並不能讓它升級為定理。

就某方面而言,哥德巴赫猜想和「夠大的行星都是圓的」這個定律相當類似。不同的是,前者有可能終有一天得到證明,後者則永無可能!

在此順便為哥德巴赫(Christian Goldbach, 1690-1764)這位數學家平反一下。有不少人以為除了這個猜想,哥德巴赫在數學上毫無建樹,甚至有人說他根本不是數學家,這些都是(網路出現前)以訛傳訛的謠言。

該講的差不多講完了,讓我們把重點再整理一遍:

事實可以用實作來證明。實作的範圍很廣,包括實驗、觀測、探勘、調查……

定理可以用邏輯來證明,尚未證明的「定理」其實應該稱為猜想。

定律可以藉由漏洞或反例來推翻。

定律可以藉由驗證增加其可信度,但無論通過多少次驗證,都不能稱之為「正確的」。

●特殊案例

天文學中的克卜勒三大定律,其實早就該改名字了。這三個規律雖然是克卜勒根據天文觀測結果歸納出來的,可是後來牛頓發現,只要以(更基本且適用性更廣的)萬有引力定律為出發點,配合第二運動定律,就能用數學推導出這三個規律。

因此最正確的說法是:

在萬有引力定律問世之前,這三個規律的確是「克卜勒三大定律」。

在萬有引力定律問世之後,這三個規律變成了「克卜勒三大定理」。

兩百多年後,歷史竟然又重演了一次。因為愛因斯坦發現,只要以(更基本且適用性更廣的)廣義相對論為出發點,就能用數學推導出萬有引力定律。

至於歷史還會不會再度重演,就讓我們拭目以待吧。

 

註:數學的研究對象是邏輯結構而不是自然現象,因此數學中只有「定理」,絕對沒有任何「定律」。至於「正弦定律」、「餘弦定律」和「正切定律」(law of sines, cosines, tangents)這三個名詞則是積非成是的結果,其實都應該正名為「定理」。

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