物理學中的對偶性(下)

■對偶性不只存在在前面的簡單例子中，其實我們也有費米子與玻色子、玻色子與玻色子、乃至於費米子與費米子間的對偶性。

撰文｜蕭維翰

在上集的討論中，我們約略介紹了「對偶」（duality）在物理學中，的意思：表面上看起來不同的兩個理論，本質上提供一樣的描述。最基本的例子是所謂伊辛模型（Ising model）在原晶格與對偶晶格上的對偶，以及電磁學馬克斯威方程式（Maxwell equations）在沒有電荷下電場磁場交換的對偶性。

在本文我們想要介紹更多的「對偶性」，包括在一維空間的玻色化（bosonization）以及二維空間的粒子──漩渦對偶性（particle-vortex duality）。然而，在進入主題之前，我們希望介紹一點基本的概念。現代固態物理對於多體問題的描述，常常是應用所謂的「場論」。雖然聽起來很深奧，但約略的概念就是不直接描述一個一個的粒子，在場論中，某種粒子的「場」就像一種流體一樣，讀者可以想像一個水盆，當我們敲打這個水盆時，激發的漣漪就等同於「粒子」。

既然是流體，那對於很多日常在水波中看到的現象，我們都可以問問，在某種物質的「場」中，有沒有類似的物理元素？比如說在非線性的的流體力學中，有一種解叫做孤立波（solitary wave）或者叫孤立子（soliton），主要的特徵是這種波在運動的過程中，形狀不會改變。另外在自然界的水力學中，還有漩渦（vortex）的組態。那底下的問題就顯得自然了：在描述物質的場論中，有沒有這種解？有的話，那他們具備甚麼性質呢？

又，為什麼討論對偶性需要關心這種特殊的解呢？

首先我們來嘗試回答最後一個問題。約略而言，在我們感興趣的對偶性中，有些將費米子（fermion）理論對應到了玻色子（bosons）理論，有些將無交互作用的理論，對應到強關聯的理論。讓我們仔細點看第一件事，在無交互作用的情況下，玻色子們原則上可以完全不知道彼此，然而費米子就不是這麼一回事，因為庖立不相容原理的關係（Pauli exclusion principle）即便是表面上沒有交互作用的費米子們，還是得感受到彼此的存在。也就是說，如果一個玻色子系統跟費米子系統是等價的，那麼組成費米子的，不可能是簡單的玻色子組態，他必須是全域性的：在一個系統中，只要有這樣一個組態存在，你不需要靠它靠得很近，也有辦法知道它的存在。而孤立子與漩渦，都具備這種性質。

1975 年，S. Coleman [1]，指出了一個玻色子的理論 Sine-Gordon模型與另一個費米子的理論Thirring 模型在 1+1 維時空是等價的，隨後Mandelstam[2] 更仔細地研究了這個問題，約略而言，玻色子形成的孤立子變成了一個費米子，將費米子以玻色子表示就是所謂的玻色化（bosonization）。從理論等價的觀點來說，也可以被當成是一種「對偶」。

接著走進 2+1 維時空。先前提過伊辛模型是模擬磁性物質的最簡單版本，也就是有一個晶格，每個格點上有一個箭頭，要嘛朝上或朝下。一個更進階的版本是想像箭頭是可以在二維平面上旋轉的向量，這種模型叫做 X-Y模型，在 2 維空間中，X-Y 模型有所謂的漩渦解，有趣的是，人們後來發現它與 2+1 維版本的希格斯模型（Higgs model）是等價的 [3, 4]，但在 X-Y 模型中的漩渦，對應到希格斯模型中的粒子，反之亦然。這個對偶便是著名的玻色子版本漩渦-粒子對偶。

那費米子版本的呢？在去年年初至年中，芝加哥大學的D. T. Son [5]、麻省理工學院的 T. Senthil 跟 C. Wang [6] 和加州大學柏克萊分校與聖塔芭芭拉分校的A. Vishwanath、M. Metlitski [7] 分別從不同的固態物理系統出發，提出了費米子版本的漩渦-粒子對偶。約略而言，在這個新的對偶中，一個 2+1 維的電子對應到所謂複合費米子的雙漩渦[1] ，這個對偶性的神髓在於，它將一個理論中的電荷，對應到另一個理論中的磁場。也就是說，控制一者的磁場，等同於控制另一者的電荷密度。

從複合費米子這個名稱，可以猜想這新對偶性可以應用到量子霍爾效應上，這的確是當初 D. T. Son 為了解決現有理論缺陷而提出的猜想。在接下來的討論，我們將從對偶性的觀點來重新了解霍爾效應。

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[1] 事實上沒這麼簡單，更精確一點的講，一個電子對應到一個複合費米子與帶有兩單位磁荷的瞬子（instanton），因為是兩單位磁荷，所以看起來就像是一個雙漩渦一樣。

參考資料：

1. Coleman, Quantum sine-Gordon Equation as the Massive Thirring Model, Phys. Rev. D 11, 2088 (1975).
2. Mandelstam, Soliton Operators for the Quantized Sine-Gordon Equation, Phys. Rev. D 11, 3026 (1975).
3. E. Peskin, Madelstam ‘t Hooft Duality in Abelian Lattice Models, Ann. Phys. (N.Y.) 113, 122 (1978).
4. Dasgupta, and B. I. Halperin, Phase Transition in a Lattice Model of Superconductivity, Phys. Rev. Lett. 47, 1556 (1981).
5. T. Son, Is the Composite Fermion a Dirac Particle?, Phys. Rev. X 5, 031027 (2015).
6. Wang, and T. Senthil, Dual Dirac Liquid on the Surface of the Electron Topological Insulator, Phys. Rev. X 5, 041031 (2015).
7. A. Metlitski, and A. Vishwanath, Particle-Vortex Duality of 2D Dirac Fermion from Electric-Magnetic Duality of 3D Topological Insulators, Phys. Rev. B 93, 245151 (2016).

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作者：蕭維翰，臺大物理系畢業後逃到芝加哥，吹風吹雪之餘，做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看，只能在密西根湖旁揀一方堤岸，偽裝成看海的人。科教中心特約寫手，從事科普文章寫作。