物理學中的對偶性(下)

figure 1: 水波中的孤波(photo credit: Wikipedia)
figure 1: 水波中的孤波(photo credit: Wikipedia)

■對偶性不只存在在前面的簡單例子中,其實我們也有費米子與玻色子、玻色子與玻色子、乃至於費米子與費米子間的對偶性。

撰文|蕭維翰

上集的討論中,我們約略介紹了「對偶」(duality)在物理學中,的意思:表面上看起來不同的兩個理論,本質上提供一樣的描述。最基本的例子是所謂伊辛模型(Ising model)在原晶格與對偶晶格上的對偶,以及電磁學馬克斯威方程式(Maxwell equations)在沒有電荷下電場磁場交換的對偶性。

在本文我們想要介紹更多的「對偶性」,包括在一維空間的玻色化(bosonization)以及二維空間的粒子──漩渦對偶性(particle-vortex duality)。然而,在進入主題之前,我們希望介紹一點基本的概念。現代固態物理對於多體問題的描述,常常是應用所謂的「場論」。雖然聽起來很深奧,但約略的概念就是不直接描述一個一個的粒子,在場論中,某種粒子的「場」就像一種流體一樣,讀者可以想像一個水盆,當我們敲打這個水盆時,激發的漣漪就等同於「粒子」。

既然是流體,那對於很多日常在水波中看到的現象,我們都可以問問,在某種物質的「場」中,有沒有類似的物理元素?比如說在非線性的的流體力學中,有一種解叫做孤立波(solitary wave)或者叫孤立子(soliton),主要的特徵是這種波在運動的過程中,形狀不會改變。另外在自然界的水力學中,還有漩渦(vortex)的組態。那底下的問題就顯得自然了:在描述物質的場論中,有沒有這種解?有的話,那他們具備甚麼性質呢?

figure 2: 咖啡中牛奶形成的漩渦 (photo credit: Wikipedia, By Astrobob - Own work, CC BY-SA 4.0)
figure 2: 咖啡中牛奶形成的漩渦 (photo credit: Wikipedia, By Astrobob - Own work, CC BY-SA 4.0)

又,為什麼討論對偶性需要關心這種特殊的解呢?

首先我們來嘗試回答最後一個問題。約略而言,在我們感興趣的對偶性中,有些將費米子(fermion)理論對應到了玻色子(bosons)理論,有些將無交互作用的理論,對應到強關聯的理論。讓我們仔細點看第一件事,在無交互作用的情況下,玻色子們原則上可以完全不知道彼此,然而費米子就不是這麼一回事,因為庖立不相容原理的關係(Pauli exclusion principle)即便是表面上沒有交互作用的費米子們,還是得感受到彼此的存在。也就是說,如果一個玻色子系統跟費米子系統是等價的,那麼組成費米子的,不可能是簡單的玻色子組態,他必須是全域性的:在一個系統中,只要有這樣一個組態存在,你不需要靠它靠得很近,也有辦法知道它的存在。而孤立子與漩渦,都具備這種性質。

1975 年,S. Coleman [1],指出了一個玻色子的理論 Sine-Gordon模型與另一個費米子的理論Thirring 模型在 1+1 維時空是等價的,隨後Mandelstam[2] 更仔細地研究了這個問題,約略而言,玻色子形成的孤立子變成了一個費米子,將費米子以玻色子表示就是所謂的玻色化(bosonization)。從理論等價的觀點來說,也可以被當成是一種「對偶」。

figure 3: XY 模型中的漩渦組態,右邊是一個漩渦、左邊是一個反漩渦(作者自繪)
figure 3: XY 模型中的漩渦組態,右邊是一個漩渦、左邊是一個反漩渦(作者自繪)

接著走進 2+1 維時空。先前提過伊辛模型是模擬磁性物質的最簡單版本,也就是有一個晶格,每個格點上有一個箭頭,要嘛朝上或朝下。一個更進階的版本是想像箭頭是可以在二維平面上旋轉的向量,這種模型叫做 X-Y模型,在 2 維空間中,X-Y 模型有所謂的漩渦解,有趣的是,人們後來發現它與 2+1 維版本的希格斯模型(Higgs model)是等價的 [3, 4],但在 X-Y 模型中的漩渦,對應到希格斯模型中的粒子,反之亦然。這個對偶便是著名的玻色子版本漩渦-粒子對偶。

那費米子版本的呢?在去年年初至年中,芝加哥大學的D. T. Son [5]、麻省理工學院的 T. Senthil 跟 C. Wang [6] 和加州大學柏克萊分校與聖塔芭芭拉分校的A. Vishwanath、M. Metlitski [7] 分別從不同的固態物理系統出發,提出了費米子版本的漩渦-粒子對偶。約略而言,在這個新的對偶中,一個 2+1 維的電子對應到所謂複合費米子的雙漩渦[1] ,這個對偶性的神髓在於,它將一個理論中的電荷,對應到另一個理論中的磁場。也就是說,控制一者的磁場,等同於控制另一者的電荷密度。

從複合費米子這個名稱,可以猜想這新對偶性可以應用到量子霍爾效應上,這的確是當初 D. T. Son 為了解決現有理論缺陷而提出的猜想。在接下來的討論,我們將從對偶性的觀點來重新了解霍爾效應。

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[1] 事實上沒這麼簡單,更精確一點的講,一個電子對應到一個複合費米子與帶有兩單位磁荷的瞬子(instanton),因為是兩單位磁荷,所以看起來就像是一個雙漩渦一樣。

參考資料:

  1. Coleman, Quantum sine-Gordon Equation as the Massive Thirring Model, Phys. Rev. D 11, 2088 (1975).
  2. Mandelstam, Soliton Operators for the Quantized Sine-Gordon Equation, Phys. Rev. D 11, 3026 (1975).
  3. E. Peskin, Madelstam ‘t Hooft Duality in Abelian Lattice Models, Ann. Phys. (N.Y.) 113, 122 (1978).
  4. Dasgupta, and B. I. Halperin, Phase Transition in a Lattice Model of Superconductivity, Phys. Rev. Lett. 47, 1556 (1981).
  5. T. Son, Is the Composite Fermion a Dirac Particle?, Phys. Rev. X 5, 031027 (2015).
  6. Wang, and T. Senthil, Dual Dirac Liquid on the Surface of the Electron Topological Insulator, Phys. Rev. X 5, 041031 (2015).
  7. A. Metlitski, and A. Vishwanath, Particle-Vortex Duality of 2D Dirac Fermion from Electric-Magnetic Duality of 3D Topological Insulators, Phys. Rev. B 93, 245151 (2016).

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作者:蕭維翰,臺大物理系畢業後逃到芝加哥,吹風吹雪之餘,做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看,只能在密西根湖旁揀一方堤岸,偽裝成看海的人。科教中心特約寫手,從事科普文章寫作。

 

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