【物理世界】究竟有多「量子」?簡介量子失諧

■我們能不能有個數字說明一個問題有多「量子」呢?

Photo credit: Mile Gu, the Quantum and Complexity Sciences Initiative, quantumcomplexity.org
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撰文|蕭維翰

前哈佛大學教授 Sidney Coleman 曾說:「人們會覺得量子現象很奇怪,是因為大家總是喜歡用古典物理去思考量子行為。」然而,這好像不能怪罪大家,畢竟 Coleman 也曾在課堂上說量子力學的困難點在於:相較於古典物理中已被解決的例題數量,人們所清楚的量子系統依舊是太稀少了,導致大多數的人依舊會下意識地區分「量子」與「古典」。

也的確,我們的生活的表象一切都太「古典」了。一個衍生的問題就是,我們能不能有個數字說明一個問題有多「量子」呢?

這種數字想當然得從一些量子力學獨有的特性計算出來,其中最廣為人知的或許是量子糾纏(quantum entanglement):糾纏態最簡單的例子如下所述,假若我們有兩個電子,一個帶著向上的自旋,另外一個帶著向下的自旋,量子力學原理告訴我們,沒辦法知道誰自旋向上或自旋向下,最多只知道有一個人自旋向上另一個人自旋向下,那麼最一般性的對這個狀態的描述就是一種糾纏態。糾纏態的存在,讓 A. Einstein 、B. Poldosky 與 N. Rosen 應用於所謂的 EPR 悖論的論證。為什麼說是糾纏呢?若我們在實驗室製造出上述的電子對,你好像只需要觀察其中一個,便可以知道另外一個人的自旋狀況,不管這兩個電子是放在同一間實驗室,或者是在地球的兩端。在量子資訊的研究上,糾纏現象亦被作為資訊儲存的機制,因而,人類似乎得到一個很明確的指標,能不能憑藉兩個系統間是否存在量子糾纏來說明這個問題「量子程度」呢?

糾纏的源頭是量子力學的疊加原理,然而,量子力學還有其他重要的原則,譬如在量子問題中,人們計算位置、動量這些量,其實像是在做一連串的矩陣乘法,這會導致所謂的不確定性原理( uncertainty principle ),或測不準原理。這個性質是跟上面疊加原理沒有淵源的,所以若一個問題是量子的,一個測量「量子程度」的量應該也要反映這種不確定性的性質,就這個條件而言,「糾纏」程度好像又沒有那麼合適。

在 2000 年附近,Harold Ollivier, Wojciech H. Zurek與L. Henderson and Vlatko Vedral分別獨立提出了所謂「量子失諧」(quantum discord)。「失諧」這個量的靈感來自於古典資訊理論資訊理論,人們可以透過一個叫做「互信息」(mutual information)的量,談論兩個隨機變數 X 與 Y (比如身高跟體重等)互相關聯的程度,透過機率學上的一些等式,古典上有兩種等價的公式可以計算出相同的互信息。當人們把計算公式代換成量子力學的版本時,因為有些數字換成了矩陣,所以兩種方法計算的結果就不一樣了,人們便把這個差值定義為失諧,而這個差值大小指出 X 與 Y 之間的關聯性有多量子。

數學上已經可以證明,一個有糾纏的狀態必然有失諧,但反之不然,從這個角度我們可以說:失諧的確是一個比糾纏更能代表量子關聯的數字。接下來,下一個很實際的問題是,這個數字好不好算呢?又,我們量得到失諧嗎?

遺憾的是,失諧跟糾纏量往往很難算。然而,MIT 的 Seth Lloyd教授前陣子發表了一篇短文,指出一個系統沒有量子失諧的話就無法對外交換能量,也因此他推導了一個公式表明,透過測量熱流(即比熱與溫度等組合)可以推算出失諧的程度。一般而言當溫度高到某種程度,大部份的系統就會趨向古典的樣子。我們討論「量子性」到最後竟然可以用一個古典味十足的物理量表現,好像也印證了,古典與量子常常只是我們刻意去區分的。

參考資料:
[1] H. Ollivier and W. H. Zurek, Phys. Rev. Lett. 88, 017901 (2001) .
[2] Seth Lloyd et al, No Energy Transport without Discord, arXiv: 1510.05035 (2015).
[3] M. Gu, Quantum Discord and The Power of Knowing Quantum Mechanically (2012)

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作者:蕭維翰,臺大物理系畢業後逃到芝加哥,吹風吹雪之餘,做研究讀博士班。可惜離開臺灣後無海可看,只能在密西根湖旁揀一方堤岸,偽裝成看海的人。科教中心特約寫手,從事科普文章寫作。

 

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