【探索15-1】從天體力學到混沌理論的形成

photo by clubraf ( findspicture.com)
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講師|清華大學數學系 陳國璋教授
撰文|蕭維翰

物理學是定量科學的一支,終極目的在於為自然界的現象提出定量分析的方式,乃至於得以預測、應用。此機械宇宙觀在牛頓時期以後,因牛頓定律的成功廣為古典物理學界接受。然而,混沌現象的發現在古典層次便擊毀了人類的狂妄:在有限精確的初始條件下,我們終將失去預測的能力。作為本期探索專題的首場講座,本講可被解釋為向讀者介紹混沌的意義及混沌現象的歷史起源,亦即法國數學家龐加萊(Henri Poincare)在十九世紀研究三體問題時所提出的結論。

龐加萊一生對於天體問題,尤其著力於三體乃至於多體問題。時至今日他頗負盛名的著作是獲頒挪威與瑞典國王奧斯卡二世論文獎的稿件。有趣的是,他獲獎的理由並非解決了評審們提出的問題,反而是說明多體問題在某種意義上的不可解答,並在另闢蹊徑時,他發現這類問題有許多解呈現不可預測的現象,在今日被發展成了混沌理論。

進一步闡述所謂不可解答的意義前,我們可以先釐清,或說複習什麼問題是可以解答的。古典天體問題在陳述上並不複雜,基本原則僅是牛頓運動定律與牛頓萬有引力定律,對於每個星球,其整體的加速度,也就是運動狀態的變化被其他星球施予的重力決定。在概念上並沒有超出中學程度的力學知識。這些概念數學上都能被表示成微分方程式,倘若初始位置與速度是給定的,原則上這些方程式的解都存在,甚至它們都有唯一的解。在這樣的意義底下,似乎沒有什麼是「不可解」的。

我們可以從最簡單的二體問題開始推敲。二體問題即廣為人知的克卜勒問題:兩質點受對方重力作用下的動力學問題。其三大行星運動定律已是今日高中物理學的標準課題,在這問題內的所有坐標函數,原則上都可以寫為時間的基礎函數表示,在這種意義上,克卜勒問題有解,而此模型也被視為牛頓力學、古典天體力學的模範。

克卜勒問題之所以有如此簡單的解析解,以今日力學觀點而言可歸咎於此系統擁有極大的對稱性。對稱是指當我們對系統做某一種操作後,這個系統維持不變,在此基礎上我們可以推論每個連續對稱性對應到一個守恆量或說不變量。具體舉例,萬有引力作用僅依賴於兩客體坐標差,而非坐標的絕對數值,因此整個系統在平移坐標的變化下是不變的。這個對稱性即對應到質心動量的守恆,也就是當我們以初始位置、速度確定質心動量。在後續的運動演化中,只要它們遵循牛頓定律,則質心動量的數值將不會改變,所以對稱性的存在大大地簡化問題的變數數目。約略而言,克卜勒系統擁有時間平移對稱、空間平移對稱、旋轉對稱等連續對稱性,分別對應到總能量、質心動量與系統角動量等守恆量,這些不變的物理量足以限制克卜勒問題以致於此問題的解可以簡單的基礎函數表示,這即是「可解」、「不可解」所指涉的意義。

當增加一個天體,在三維空間中等同於增加三個空間變數(若考慮初始速度的狀況則是六個自由度)若問題的對稱性沒有被擴大,意即守恆量的數量沒有增加,自然地我們將不會預期該問題的解能被表示成一如二體問題般簡潔的基礎函數。龐加萊在他獲獎的論文中陳述並證明除了前述幾個守恆物理量,沒有其他由時間、位置或速度組成的代數函數形成的守恆量。在前一段所述方程式解可由簡單基礎函數表示的意義下,龐加萊當時並沒有找到令人滿意的解析解。(三體問題的「解」直到 1912 年才由他人提出,一般性 N 體問題的則需等到 1991 年。)

此狀況的類比問題是雙擺之於單擺與限制三體問題之於歐拉三體問題,也因龐加萊說明了在三體問題中沒有更多的守恆量(當時他並沒有寫下一個收斂的一般性解析解)。退而求其次,一組微分方程式總是可以用數值解的。然而,結合龐加萊映射等其他工具,他意識到這些解對於初始條件是極為敏感的,意即若我們考慮兩組差異不大的初始速度、位置並計算它們的軌跡,不需要多久,這兩組解便會呈現幾乎完全不一樣的趨勢與特徵,這便是混沌現象的起源,顛覆了在此之前人們對牛頓動力學即天體力學和諧、規律的想像。

龐加萊的巨著儘管未能直接答覆 N 體問題的解,但他挖掘的混沌現象,如今已被發展成混沌理論。除了對於初始條件的敏感性外,也增加了其他數學條件,如週期解的密集性,來更細緻地確定它的意涵,並在氣象等其他科學領域蓬勃地被研究。或許慧眼如龐加萊早在著作時體認到這些結果的必然,但對於當初瑞典挪威國王獎的主辦人而言,無心插柳竟如此開枝散葉,大概是始料未及的吧!

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本文整理自:105/3/26 
由陳國璋教授在臺大思亮館國際會議廳所主講之「從天體力學到混沌理論的形成」演講內容。

 

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