【科學史沙龍】古代希臘社會發展與數學

■發行量僅次於聖經的《幾何原本》，對數學以至於西方思想的影響不言可喻，不過歐幾里得透過幾何學留下的，究竟是什麼樣的知識系統呢？洪萬生教授為我們剖析幾何原本的思考脈絡，並且比較東西方對於這本巨作的看法差異。

講者｜臺灣師範大學數學系 洪萬生教授
撰文｜高英哲

柏拉圖在《對話錄》的〈米諾篇〉中，曾經探討過數學知識活動的本質。他認為老師從來就沒有教給學生任何新的東西，學習就是把遺忘的東西重新喚醒的過程，數學也不例外。他更認為數學可以幫助一個人穿透事物的表象，直指核心。他甚至在學院門口掛上一個牌子：「不懂幾何學的人，不准進來。」

由柏拉圖跟亞里斯多德建立起來的，還有希臘嚴密論證的傳統。他們認為直觀是不可靠的，若要探究事物的客觀本質，就一定要講究思辨的方法，而這點在數學中最能夠體現。我們從所有人必定學過的畢氏定理，便可窺得嚴密論證對於古希臘數學發展的影響：歐幾里得的《幾何原本》跟中國東漢時代的《九章算術》，對畢氏定理的講法幾乎是一模一樣，然而歐幾里得在《幾何原本》中，能夠以非常嚴謹的方式提供證明，即使畢氏定理的證明本身非常的不直觀。至於《九章算術》雖然沒有提供證明，不過能夠用文字把畢氏定理敘述得十分清楚，也是一種功力。

不把直觀當成是理所當然，而寧願以不直觀的嚴密論證，去呈現我們認為理所當然的事物，也許是古希臘透過數學，留給後世最重要的遺產之一。我們看《幾何原本》第一卷的 48 個命題，命題 1 是求作一個正三角形；我們知道兩個正三角形可以拼成一個正方形，可是卻一直要到命題 46 ，才是求作一個正方形——這麼直觀的事情，中間竟然隔了這麼多個命題！但只要你真的細細讀過《幾何原本》，你就會發現這樣的推導是非常緻密的，而歐幾里得在命題 46 要求作正方形，正是為了在接下來的命題 47 導出畢氏定理。《幾何原本》透過這樣的架構，創立了「定義—設準—公理—命題」的體例，藉此保障數學知識的確定性。

《幾何原本》留下的論證體例，對於西方後世的科學思維影響極大，比方說伽利略在《兩種新科學對話錄》一書中，談到原理跟實驗的關係，就認為原理一旦被適當選擇的實驗所確定，就變成整個上層結構的基礎，很明顯是承襲自《幾何原本》的思維。不是在這樣的思維傳統受到薰陶的東方菁英，似乎就比較難以掌握到箇中經髓，像是徐光啟對於《幾何原本》推崇備至，從他在〈幾何原本雜議〉中對《幾何原本》經典之處的讚詞，可看出他確實掌握了西方幾何學的確定性；不過對於《幾何原本》實際操作上最根本的「尺規作圖」，他則是似乎沒有真正理解其意義，這對於他對西方數學的認識，產生了一定程度的侷限。

《幾何原本》裡頭提及的公理及命題，如今都成為中小學數學課程，近乎理所當然的存在。但只要你真正研讀過原本，你就會知道這些理所當然的事物，其實都是其來有自，絕不簡單。