【科學史沙龍】如何說數學故事？

■從小對於數學感到頭疼的我們，第一個接觸到的數學故事，應該是經典的「雞兔同籠」應用題。不過你知道這個問題是從《孫子算經》出來的嗎？數學家很早就在利用故事講述數學，然而數學定理與文學故事這兩個看似風馬牛不相干的東西，究竟要怎麼樣結合在一起？

講者｜國立臺灣師範大學數學系 洪萬生教授
撰文｜高英哲

最近出版了一本叫做《畢氏定理四千年》的書，作者毛爾 (Eli Maor) 在書中探討了一個問題：所謂數學之美究竟是什麼？數學家的共識是「對稱性」。比方說三角形的三條高永遠交於一點，因此沒有一個邊或一個頂點，比其他的邊或頂點更具有優先性；又譬如在圓形內任意找一點Ｐ，過點Ｐ畫出弦ＡＢ，那麼ＰＡ．ＰＢ是一個定值，也就是說對於Ｐ點來說，每條弦都是平等的，沒有高低之分。作者把這種現象稱之為「完全的民主」 (complete democracy) 。

這樣講聽起來很有趣，不過你可以自問：這個比喻跟這些定理的內容有什麼關係？對於證明這個定理有沒有幫助？或是反過來說，證明這個定理的過程，是否能夠讓你更能夠理解那個比喻？其實數學證明就像在說故事，數學定義就像是人物角色，而你可以決定他們演出的故事情節。就像沒有人喜歡看一個情節拐彎抹角，結局又不合理的故事一樣，數學證明也應該要簡明優雅，兼顧美感與邏輯。我們以歐幾里得測量圓面積的「窮盡法」為例，他用來逼近實際圓面積的近似值，不是做幾個了事，而是做了無限多個，愈來愈接近真正的結果；每一個近似值都是一個「謊言」，然而透過這些無窮多的謊言，卻能告訴我們「真理」，這就是一種既合乎邏輯，又具有美感的證明。

數學思維跟文學故事一樣，從許多特例中看出模式。特例比較容易理解，而我們可以從特例中看出一般性。我們以清朝中葉李銳的《句股算數細草》為例，他用圖解的方式來證明畢氏定理，但是同樣一張圖，不同的人看到，會有不同的解釋；畢氏定理的證明方法事實上有幾百種，但最後都能得到同樣的定理，就看人們用特例導出一般性的說故事本事，誰高誰低了。洪老師另外舉了三國趙爽注《周髀算經》，以及《孫子算經》物不知數題為例，說明從特例看出模式的思路。

數學概念跟文學故事另一個相同點，在於他們都不等於現實，甚至也不能直接對應到現實，卻能夠透過思考得到某些證明結果或人生啟發。這點在小川洋子的數學小說《博士熱愛的算式》提到歐拉公式時，有一段令人嘖嘖稱奇的描述：「⋯⋯永無止境循環下去的數字，和讓人難以捉摸的虛數，劃出簡潔的軌跡，在某一點落地。雖然沒有圓的出現，但來自宇宙的 pi 飄然地來到 e 的身旁，和害羞的 i 握著手。他們的身體緊緊地靠在一起，屏住呼吸，但有人加了 1 以後，世界就毫無預警地發生了巨大的變化，一切都歸於 0 。」這段文字美得讓人印象深刻，然而它在陳述的其實是 e(i pi) + 1 = 0 這個方程式的精華：

@.方程式中有數學中五個最重要的數： 0, 1, e, pi, i 。

@.方程式中有數學最重要的「相等」關係，以及三個最重要的運算：加、乘、取冪。

@.除此之外，方程式中沒有任何其他不相干的東西，簡潔得令人屏息。

類似的數學故事，還有小說《質數的孤獨》中，從孿生質數的本質，引伸到人與人之間注定孤獨的狀態。這當然是反過來用數學來講故事了，不過從這些不勝枚舉的例子中，我們已經能夠看出，數學與文學這兩種看似八竿子打不著邊的領域，它們的共通與互補之處，其實遠比你我以為的來得多呢！